Determine o valor da área da região definida pelas curvas y = e^(-x^2), y = 0, x = 0 e x = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região delimitada pelas curvas , , e . Isso envolve um pouco de cálculo, mais especificamente, integração, que é a ferramenta que usamos para calcular áreas sob curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que estamos fazendo. A curva é uma função exponencial decrescente que se aproxima de zero conforme aumenta. As linhas (o eixo x), e definem os limites laterais e inferior da área que queremos calcular. Então, basicamente, estamos procurando a área entre e sob a curva .

Passo 3

Para encontrar essa área, usamos a integral definida. A integral de uma função entre dois limites nos dá a área sob a curva dessa função entre esses pontos. A fórmula geral é:
Á
Onde e são os limites de integração, e é a função que define a curva.

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso, temos:
Á
No entanto, aqui temos um pequeno problema: a integral de não pode ser expressa em termos de funções elementares que conhecemos, como polinômios ou funções trigonométricas. Isso significa que não há uma antiderivada simples para essa função.

Passo 5

Mas não se preocupe! Nós podemos usar uma aproximação conhecida chamada “Função Erro” ou “Função Gauss”. A integral de é relacionada a essa função especial. A função erro é definida como:
Então, podemos reescrever nossa área em termos da função erro.

Passo 6

Resolvendo para nossa integral:
Sabemos que é aproximadamente 0,8427. Então, substituindo os valores:
Á

Resposta

A área da região definida pelas curvas é aproximadamente unidades quadradas.

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