Determine o valor da área da região definida pelas curvas
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da região delimitada pelas curvas
,
,
e
. Isso envolve um pouco de cálculo, mais especificamente, integração, que é a ferramenta que usamos para calcular áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que estamos fazendo. A curva
é uma função exponencial decrescente que se aproxima de zero conforme
aumenta. As linhas
(o eixo x),
e
definem os limites laterais e inferior da área que queremos calcular. Então, basicamente, estamos procurando a área entre
e
sob a curva
.
Passo 3
Para encontrar essa área, usamos a integral definida. A integral de uma função entre dois limites nos dá a área sob a curva dessa função entre esses pontos. A fórmula geral é:
Onde
e
são os limites de integração, e
é a função que define a curva.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso, temos:
No entanto, aqui temos um pequeno problema: a integral de
não pode ser expressa em termos de funções elementares que conhecemos, como polinômios ou funções trigonométricas. Isso significa que não há uma antiderivada simples para essa função.
Passo 5
Mas não se preocupe! Nós podemos usar uma aproximação conhecida chamada “Função Erro” ou “Função Gauss”. A integral de
é relacionada a essa função especial. A função erro é definida como:
Então, podemos reescrever nossa área em termos da função erro.
Passo 6
Resolvendo para nossa integral:
Sabemos que
é aproximadamente 0,8427. Então, substituindo os valores:
Resposta
A área da região definida pelas curvas é aproximadamente
unidades quadradas.