Calcule as seguintes integrais indefinidas: (1,0 pts) integral x e^4+x^2 d x

Passo 1

Vamos calcular a integral indefinida integral x e^4+x^2 , dx. Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente sobre integração por substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma variável mais simples.

Passo 2

Observando a integral, vemos que no expoente temos 4 + x^2. Isso sugere que podemos usar a substituição u = 4 + x^2. Essa escolha facilita a integral porque a derivada de u em relação a x envolve o termo x presente na integral original.

Passo 3

Vamos efetuar a substituição:
u = 4 + x^2
Agora, calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx
Para expressar x , dx em termos de du, dividimos ambos os lados por 2:
x , dx = 12 du

Passo 4

Substituímos u e x , dx na integral original:
integral x e^4+x^2 , dx = integral e^u cdot 12 , du = 12 integral e^u , du
Aqui, simplificamos a integral ao fator constante 12.

Passo 5

A integral de e^u em relação a u é simplesmente e^u. Portanto:
12 integral e^u , du = 12 e^u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, substituímos u de volta por 4 + x^2 para obter a resposta em termos de x:
12 e^u + C = 12 e^4 + x^2 + C

Resposta

12 e^4 + x^2 + C

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