Calcule o valor máximo da derivada direcional da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor máximo da derivada direcional da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas direcionais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto é a taxa de variação da função nessa direção específica. O valor máximo dessa derivada ocorre na direção do gradiente da função nesse ponto.

Passo 3

Então, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja, se , então:

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :
  1. Derivada em relação a :

Passo 5

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e nas derivadas que calculamos:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Então, o gradiente no ponto é:

Passo 6

O valor máximo da derivada direcional é a norma do gradiente no ponto considerado. A norma de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso gradiente:

Resposta

O valor máximo da derivada direcional da função no ponto é .

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