Calcule o valor máximo da derivada direcional da função .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor máximo da derivada direcional da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas direcionais e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto é a taxa de variação da função nessa direção específica. O valor máximo dessa derivada ocorre na direção do gradiente da função nesse ponto.
Passo 3
Então, precisamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja, se , então:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Derivada em relação a :
Passo 5
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo , e nas derivadas que calculamos:
Para :
Para :
Para :
Então, o gradiente no ponto é:
Passo 6
O valor máximo da derivada direcional é a norma do gradiente no ponto considerado. A norma de um vetor é dada por:
Aplicando isso ao nosso gradiente:
Resposta
O valor máximo da derivada direcional da função no ponto é .