Encontre o plano tangente e a reta normal à superfície dada, no ponto indicado:
© .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa encontrar o plano tangente e a reta normal à superfície no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que nos ajudam a entender como a superfície se comporta em torno desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que o ponto está realmente na superfície. Substituindo e na equação da superfície:
Então, o ponto está na superfície, beleza!

Passo 3

Agora, para encontrar o plano tangente, precisamos das derivadas parciais de em relação a e . Essas derivadas nos dão as inclinações da superfície nas direções de e .
A função dada é . Vamos chamar de .

Passo 4

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Usando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, apenas depende de :

Passo 6

Vamos avaliar essas derivadas no ponto :
Primeiro, calculamos .
Então,

Passo 7

Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Passo 8

Vamos simplificar a equação do plano tangente:

Passo 9

Agora, para a reta normal, usamos o vetor normal ao plano tangente. Esse vetor é dado pelas derivadas parciais . No nosso caso:
A equação paramétrica da reta normal é:

Resposta

O plano tangente à superfície no ponto é e a reta normal é dada por:

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