Analise se as afirmaçóes abaixo sâo verdadeiras ou falsas. Justifique seus argumentos, exibindo contra-exemplos para as afirmações falsas ou provando as afirmações verdadeiras.
(n) O raio de convergência da série da série é infinito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se o raio de convergência da série é infinito. Isso envolve o tema de séries de potências na matemática, especificamente determinando até onde a série converge. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o raio de convergência usando o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele indica os valores de para os quais a série converge. Se o raio for infinito, significa que a série converge para qualquer valor de .
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da série:
Podemos simplificar isso para:
Passo 4
Para encontrar o raio de convergência, usamos o Teste da Razão, que envolve calcular o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 5
Aplicando o Teste da Razão:
Tomando o valor absoluto:
Passo 6
Agora, calculamos o limite quando tende ao infinito:
Já que , que é menor que 1, concluímos que a série converge para qualquer valor de .
Resposta
Verdadeiro. O raio de convergência da série é infinito.