Calcule o valor da soma abaixo:
50 cdot 51+51 cdot 52+cdots+100 cdot 101

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa soma aí: 50 cdot 51 + 51 cdot 52 + cdots + 100 cdot 101. O conteúdo que vamos usar aqui envolve somas de sequências e algumas fórmulas matemáticas básicas. Precisamos entender como simplificar essa série para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que cada termo da soma pode ser escrito como n cdot (n + 1), onde n vai de 50 até 100. Então, nossa soma fica:
sumn=50^100 n(n + 1)

Passo 3

Vamos simplificar n(n + 1). Expandindo, temos:
n(n + 1) = n^2 + n
Então, a soma original pode ser reescrita como:
sumn=50^100 (n^2 + n) = sumn=50^100 n^2 + sumn=50^100 n

Passo 4

Agora, precisamos calcular duas somas separadas: a soma dos quadrados de n e a soma dos próprios n, de 50 a 100.
A fórmula para a soma dos quadrados de 1 até m é:
sumn=1^m n^2 = m(m + 1)(2m + 1)6
E a fórmula para a soma dos números de 1 até m é:
sumn=1^m n = m(m + 1)2

Passo 5

Vamos calcular primeiro sumn=50^100 n^2. Isso é igual a sumn=1^100 n^2 - sumn=1^49 n^2:
sumn=1^100 n^2 = 100 cdot 101 cdot 2016 = 338350
sumn=1^49 n^2 = 49 cdot 50 cdot 996 = 40425
sumn=50^100 n^2 = 338350 - 40425 = 297925

Passo 6

Agora, vamos calcular sumn=50^100 n, que é igual a sumn=1^100 n - sumn=1^49 n:
sumn=1^100 n = 100 cdot 1012 = 5050
sumn=1^49 n = 49 cdot 502 = 1225
sumn=50^100 n = 5050 - 1225 = 3825

Passo 7

Agora, somamos os dois resultados que obtivemos:
sumn=50^100 (n^2 + n) = 297925 + 3825 = 301750

Resposta

O valor da soma 50 cdot 51 + 51 cdot 52 + cdots + 100 cdot 101 é 301.750.

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