Seja o conjunto a1, a2, ldots, an. Quantos são os subconjuntos com p-elementos (p nos quais a1 não aparece?

Passo 1

Vamos resolver um problema de combinatória, que faz parte da matemática que estuda as diferentes maneiras de selecionar elementos de um conjunto. Aqui, temos um conjunto com $ n $ elementos: n . A questão pede para descobrir quantos subconjuntos com exatamente $ p $ elementos (onde $ p < n $) podem ser formados de forma que o elemento $ a_{1} $ não esteja presente. Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinações, que nos ajuda a calcular o número de maneiras de escolher elementos sem se preocupar com a ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que $ a_{1} $ não aparece no subconjunto. Se $ a_{1} $ não está incluído, então estamos escolhendo nossos $ p $ elementos apenas entre os demais elementos do conjunto, ou seja, entre $ a_{2}, a_{3}, ···, a_{n} $. Assim, em vez de escolher $ p $ elementos de $ n $, estamos escolhendo $ p $ elementos de $ n - 1 $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula de combinação. A combinação de $ k $ elementos escolhidos de um conjunto de $ m $ elementos é dada por:
k
No nosso caso, queremos escolher $ p $ elementos de $ n - 1 $ elementos (já que excluímos $ a_{1} $). Portanto, substituindo na fórmula:
m

Resposta

O número de subconjuntos com $ p $ elementos nos quais $ a_{1} $ não aparece é:
p

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