Determine se a série
converge ou diverge.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma série infinita do tipo alternada, ou seja, os termos mudam de sinal a cada n. A série é:
Vamos analisar se essa série converge ou diverge. Para isso, precisaremos usar o Teste da Série Alternada (também conhecido como Teste de Leibniz).
Passo 2
Primeiro, simplificamos a expressão dentro da série para facilitar a análise:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa fração quando
tende ao infinito. Os termos de maior grau no numerador e denominador são
:
Passo 4
No Teste da Série Alternada, para que a série
converge, duas condições devem ser atendidas:
- Os termos
devem ser decrescentes: para todo . - O limite de
quando tende ao infinito deve ser zero: .
Passo 5
No nosso caso, vimos que:
Isso significa que a segunda condição do Teste da Série Alternada não é satisfeita.
Resposta
A série diverge.
Exercícios relacionados
Determine se a série
converge ou diverge.
Calcule o valor da soma
.
Verifique se a série
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Calcule a integral iterada:
(a)
(a)