Calcule o valor de para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores e seja igual a 33 e calcule a altura desse paralelepípedo em relação à base definida por e .
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e seja igual a 33. Além disso, vamos calcular a altura desse paralelepípedo em relação à base definida por e . Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial, especificamente o produto misto para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume de um paralelepípedo pode ser calculado usando o produto misto dos três vetores que o definem. O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada por esses vetores. Então, temos:
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores , e :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
Aplicando isso à nossa matriz:
Passo 5
Vamos simplificar cada parte:
Passo 6
O volume é o valor absoluto desse determinante, então:
Isso nos dá a equação:
Passo 7
Vamos resolver as duas possibilidades:
Passo 8
Portanto, os possíveis valores de são e .
Passo 9
Agora, vamos calcular a altura do paralelepípedo em relação à base definida por e . A altura pode ser encontrada dividindo o volume pela área da base.
Primeiro, vamos calcular a área da base, que é o módulo do produto vetorial de e :
Á
Passo 10
Vamos calcular o produto vetorial :
Passo 11
Agora, calculamos o módulo desse vetor:
Então, a área da base é .
Passo 12
Agora, a altura é o volume dividido pela área da base:
Á
Resposta
Os valores de que satisfazem o volume de 33 são e . A altura do paralelepípedo em relação à base definida por e é .