Calcule o valor de para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores e seja igual a 33 e calcule a altura desse paralelepípedo em relação à base definida por e .
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e seja igual a 33. Além disso, vamos calcular a altura desse paralelepípedo em relação à base definida por e . Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial, especificamente o produto misto para calcular o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o volume de um paralelepípedo pode ser calculado usando o produto misto dos três vetores que o definem. O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada por esses vetores. Então, temos:
Passo 3
Vamos montar a matriz com os vetores 0 & -1 & 2 -4 & 2 & -1 3 & m & -2 , e :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
a & b & c d & e & f g & h & i = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
O volume V = | -8m - 1 | = 33 é o valor absoluto desse determinante, então:
-8m - 1 = pm 33
Isso nos dá a equação:
Passo 7
Vamos resolver as duas possibilidades:
-8m = 34 Rightarrow m = -348 = -174
-8m = -32 Rightarrow m = 4
Passo 8
Portanto, os possíveis valores de são e .
Passo 9
Agora, vamos calcular a altura do paralelepípedo em relação à base definida por Área = | v1 times v2 | e . A altura pode ser encontrada dividindo o volume pela área da base.
Primeiro, vamos calcular a área da base, que é o módulo do produto vetorial de e :
Á
Passo 10
Vamos calcular o produto vetorial v1 times v2 = i & j & k 0 & -1 & 2 -4 & 2 & -1 :