Calcule o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores v1=(0,-1,2), v2=(-4,2,-1) e v3=(3, m,-2) seja igual a 33 e calcule a altura desse paralelepípedo em relação à base definida por v1 e v2.

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que o volume do paralelepípedo formado pelos vetores , e seja igual a 33. Além disso, vamos calcular a altura desse paralelepípedo em relação à base definida por e . Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra vetorial, especificamente o produto misto para calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o volume de um paralelepípedo pode ser calculado usando o produto misto dos três vetores que o definem. O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada por esses vetores. Então, temos:
V = | v1 cdot (v2 times v3) |

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores 0 & -1 & 2 -4 & 2 & -1 3 & m & -2 , e :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
a & b & c d & e & f g & h & i = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Aplicando isso à nossa matriz:
0(2 cdot (-2) - (-1) cdot m) - (-1)(-4 cdot (-2) - (-1) cdot 3) + 2(-4 cdot m - 2 cdot 3)

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
0( -4 + m ) - (-1)(8 - (-3)) + 2(-4m - 6)
0 cdot (m - 4) + 1 cdot (11) + 2(-4m - 6)
0 + 11 - 8m - 12
-8m -1

Passo 6

O volume V = | -8m - 1 | = 33 é o valor absoluto desse determinante, então:
-8m - 1 = pm 33
Isso nos dá a equação:

Passo 7

Vamos resolver as duas possibilidades:
  1. -8m = 34 Rightarrow m = -348 = -174
-8m = -32 Rightarrow m = 4

Passo 8

Portanto, os possíveis valores de são e .

Passo 9

Agora, vamos calcular a altura do paralelepípedo em relação à base definida por Área = | v1 times v2 | e . A altura pode ser encontrada dividindo o volume pela área da base.
Primeiro, vamos calcular a área da base, que é o módulo do produto vetorial de e :
Á

Passo 10

Vamos calcular o produto vetorial v1 times v2 = i & j & k 0 & -1 & 2 -4 & 2 & -1 :
= i((-1)(-1) - 2 cdot 2) - j(0 cdot (-1) - 2 cdot (-4)) + k(0 cdot 2 - (-1) cdot (-4))
= i(1 - 4) - j(0 + 8) + k(0 - 4)
= -3i - 8j -4k

Passo 11

Agora, calculamos o módulo desse vetor:
| v1 times v2 | = raiz(-3)^2 + (-8)^2 + (-4)^2 = raiz9 + 64 + 16 = raiz89
Então, a área da base é .

Passo 12

Agora, a altura h = VÁrea = 33raiz89 é o volume dividido pela área da base:
Á

Resposta

Os valores de que satisfazem o volume de 33 são e . A altura do paralelepípedo em relação à base definida por e é .

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