Demostre que os períodos de oscilações de blocos iguais de massa m unidos por molas de mesma constante elástica k independente da orientação do plano de oscilação possuirão o mesmo período igual: T=2 pi raizmk.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre oscilações de blocos e molas. A questão pede para a gente demonstrar que, para blocos iguais com massa ligados por molas com constante elástica , o período das oscilações é sempre , não importa como o plano de oscilação esteja orientado. Vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples e as leis de Hooke. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que movimento harmônico simples é um tipo de movimento oscilatório onde a força restauradora é proporcional e oposta ao deslocamento. A equação que descreve isso é:
F = -k cdot x
Aqui, é a força restauradora, é a constante da mola, e é o deslocamento da posição de equilíbrio.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que m cdot d^2xdt^2 = -k cdot x , onde é a aceleração. Como estamos lidando com movimento harmônico simples, a aceleração também pode ser expressa como .
Então, temos:

Passo 4

Essa equação diferencial típica de movimento harmônico simples pode ser reescrita como:
d^2xdt^2 + km x = 0
A solução geral dessa equação é uma oscilação harmônica com frequência angular omega = raizkm , onde:

Passo 5

O período T = 2piomega é o tempo que a partícula leva para completar uma oscilação. Ele está relacionado com a frequência angular pela fórmula:
T = 2pi raizmk
Substituindo pela expressão que encontramos:

Resposta

Portanto, demonstramos que o período das oscilações é:
T = 2pi raizmk

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