Demostre que os períodos de oscilações de blocos iguais de massa
unidos por molas de mesma constante elástica
independente da orientação do plano de oscilação possuirão o mesmo período igual:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre oscilações de blocos e molas. A questão pede para a gente demonstrar que, para blocos iguais com massa
ligados por molas com constante elástica
, o período das oscilações é sempre
, não importa como o plano de oscilação esteja orientado. Vamos precisar usar conceitos de movimento harmônico simples e as leis de Hooke. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que movimento harmônico simples é um tipo de movimento oscilatório onde a força restauradora é proporcional e oposta ao deslocamento. A equação que descreve isso é:
Aqui,
é a força restauradora,
é a constante da mola, e
é o deslocamento da posição de equilíbrio.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a segunda lei de Newton, que diz que
, onde
é a aceleração. Como estamos lidando com movimento harmônico simples, a aceleração também pode ser expressa como
.
Então, temos:
Passo 4
Essa equação diferencial típica de movimento harmônico simples pode ser reescrita como:
A solução geral dessa equação é uma oscilação harmônica com frequência angular
, onde:
Passo 5
O período
é o tempo que a partícula leva para completar uma oscilação. Ele está relacionado com a frequência angular pela fórmula:
Substituindo
pela expressão que encontramos:
Resposta
Portanto, demonstramos que o período das oscilações é:
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
, calcule a área do paralelogramo determinado por
e
Calcule o valor de
para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
e
seja igual a 33 e calcule a altura desse paralelepípedo em relação à base definida por
e
.
Mostre que:
.
Encontre a área do triângulo cujos vértices são