Dados os vetores u=(3,-1,2) e v=(-2,2,1), calcule a área do paralelogramo determinado por u e v

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores no espaço tridimensional: u = (3, -1, 2) e v = (-2, 2, 1). O objetivo aqui é calcular a área do paralelogramo formado por esses dois vetores. Para isso, vamos usar o conceito de produto vetorial, que nos ajuda a encontrar uma nova vetor perpendicular aos dois originais, e a magnitude desse vetor nos dá a área desejada.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores no espaço tridimensional. O produto vetorial de u = (u1, u2, u3) e v = (v1, v2, v3) é dado por:
u times v = ( u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1 )
Esse vetor resultante é perpendicular aos dois vetores originais e sua magnitude representa a área do paralelogramo formado por u e v.

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial de u e v usando a fórmula acima:
u times v = ( (-1)(1) - (2)(2), (2)(-2) - (3)(1), (3)(2) - (-1)(-2) )
Calculando cada componente:
  • Primeira componente: (-1)(1) - (2)(2) = -1 - 4 = -5
  • Segunda componente: (2)(-2) - (3)(1) = -4 - 3 = -7
  • Terceira componente: (3)(2) - (-1)(-2) = 6 - 2 = 4
Então,
u times v = (-5, -7, 4)

Passo 4

Agora, vamos encontrar a magnitude do vetor resultante, que nos dará a área do paralelogramo. A magnitude de um vetor w = (w1, w2, w3) é dada por:
|w| = raizw1^2 + w2^2 + w3^2
Aplicando isso ao nosso vetor (-5, -7, 4):
|u times v| = raiz(-5)^2 + (-7)^2 + 4^2 = raiz25 + 49 + 16 = raiz90
Simplificando:
raiz90 = raiz9 times 10 = 3raiz10

Resposta

A área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v é 3raiz10 unidades de área.

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