Calcule os valores de b e d para os quais os planos
r 2 x-y+3 z-1=0 x+2 y-z+d=0 x+b y-6 z+10=0
determinam três retas paralelas distintas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de três planos:
r 2x - y + 3z - 1 = 0 x + 2y - z + d = 0 x + b y - 6z + 10 = 0
O objetivo é encontrar os valores de e para que esses três planos determinem três retas paralelas e distintas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica e álgebra linear, como condições de paralelismo entre planos e sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando três planos determinam retas paralelas. Três planos podem se intersectar em três retas paralelas se eles são pares de planos paralelos entre si. Ou seja, cada par de planos do sistema deve ser paralelo.
Dois planos são paralelos se seus vetores normais são proporcionais. Os vetores normais dos planos são os coeficientes de em cada equação.
  • Para o primeiro plano:
  • Para o segundo plano:
  • Para o terceiro plano:
Queremos que e sejam paralelos, assim como e , e e .

Passo 3

Vamos estabelecer as proporções para que os vetores normais sejam proporcionais.
Para 21 = -12 = 3-1 e 21 = 2, -12 = -0.5, 3-1 = -3 :
Existe um número tal que:
Vamos verificar:
Como os valores não são iguais, e não são paralelos. Portanto, para que os três planos determinem retas paralelas, deve haver uma combinação linear entre os planos que torne os vetores normais proporcionais.

Passo 4

Na verdade, para que os três planos determinem três retas paralelas distintas, os três planos não devem ser todos paralelos entre si, mas sim que cada par de planos intersecte em uma reta paralela às outras. Isso ocorre quando os planos não são paralelos, mas possuem a mesma direção para as retas de interseção.
Vamos considerar que a direção das retas de interseção seja a mesma para todos os pares de planos. A direção das retas de interseção entre dois planos é dada pelo produto vetorial dos vetores normais desses planos.
Então, queremos que:

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial entre n1 times n2 = i & j & k 2 & -1 & 3 1 & 2 & -1 = i((-1)(-1) - (3)(2)) - j((2)(-1) - (3)(1)) + k((2)(2) - (-1)(1)) e = i(1 - 6) - j(-2 - 3) + k(4 + 1) :
= -5i + 5j + 5k
= (-5, 5, 5)

Passo 6

Agora, calculamos n1 times n3 = i & j & k 2 & -1 & 3 1 & b & -6 = i((-1)(-6) - (3)(b)) - j((2)(-6) - (3)(1)) + k((2)(b) - (-1)(1)) :
= i(6 - 3b) - j(-12 - 3) + k(2b + 1)
= (6 - 3b, 15, 2b + 1)

Passo 7

Para que as direções sejam proporcionais, existe um escalar (6 - 3b, 15, 2b + 1) = lambda (-5, 5, 5) tal que:
6 - 3b = -5lambda 15 = 5lambda 2b + 1 = 5lambda
Isso nos dá o sistema:

Passo 8

Resolvendo a segunda equação para 15 = 5lambda lambda = 3 :
6 - 3b = -5(3) 6 - 3b = -15 -3b = -21 b = 7
Substituindo 2b + 1 = 5(3) 2(7) + 1 = 15 14 + 1 = 15 15 = 15 (confirmação) na primeira e terceira equações:
Primeira equação:
Terceira equação:
çã

Resposta

Os valores que garantem que os três planos determinem três retas paralelas distintas são e .

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