Considere as bases de P<= 2
alpha=x, 2 x-2,3 x^2-1, beta=5,5+x, 5+x^2, de
Determine [I]beta^alpha,[I]alpha^de e [I]de

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear envolvendo mudanças de base no espaço dos polinômios de grau até 2, que é representado por . Temos três bases diferentes: , e . Nosso objetivo é encontrar as matrizes de mudança de base de para ( ), de para ( ), e de para ( ). Para isso, vamos precisar entender como expressar vetores de uma base em termos de outra.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a matriz de mudança de base . Essa matriz nos permite expressar qualquer vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, se tivermos uma base e uma base , queremos encontrar coeficientes tais que para cada .

Passo 3

Vamos começar encontrando . Isso significa que vamos expressar cada vetor da base em termos dos vetores da base .
A base é e a base é .

Passo 4

Vamos expressar cada vetor de 5 = c1 cdot x + c2 cdot (2x - 2) + c3 cdot (3x^2 -1) como uma combinação linear de 0 cdot x + 0 cdot x^2 + 5 = c1 cdot x + c2 cdot (2x - 2) + c3 cdot (3x^2 -1):
  1. Para 5 + x = c1 cdot x + c2 cdot (2x - 2) + c3 cdot (3x^2 -1):
5 + x^2 = c1 cdot x + c2 cdot (2x - 2) + c3 cdot (3x^2 -1)
Como não há termos de ou em 5, isso implica:
Resolvendo, temos , , .
  1. Para :
Comparando coeficientes:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
    Substituindo :
  1. Para :
Comparando coeficientes:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
    Substituindo :

Passo 5

Agora, organizamos os coeficientes encontrados em colunas para formar a matriz [I]beta^alpha = 0 & 6 & 163 0 & -52 & -83 -5 & 0 & 13 :

Passo 6

Pronto! Agora já temos a matriz de mudança de base . Repetiríamos um processo semelhante para encontrar e , expressando cada vetor das bases de destino em termos das bases de origem e organizando os coeficientes nas respectivas matrizes.

Resposta

A matriz de mudança de base [I]beta^alpha = 0 & 6 & dfrac163 0 & -dfrac52 & -dfrac83 -5 & 0 & dfrac13 é

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