Beleza, vamos resolver um exercício de álgebra linear envolvendo mudanças de base no espaço dos polinômios de grau até 2, que é representado por . Temos três bases diferentes: , e . Nosso objetivo é encontrar as matrizes de mudança de base de para (), de para (), e de para (). Para isso, vamos precisar entender como expressar vetores de uma base em termos de outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a matriz de mudança de base . Essa matriz nos permite expressar qualquer vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base . Ou seja, se tivermos uma base e uma base , queremos encontrar coeficientes tais que para cada .
Passo 3
Vamos começar encontrando . Isso significa que vamos expressar cada vetor da base em termos dos vetores da base .
A base é e a base é .
Passo 4
Vamos expressar cada vetor de como uma combinação linear de :
Para :
Como não há termos de ou em 5, isso implica:
Resolvendo, temos , , .
Para :
Comparando coeficientes:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Termo constante:
Substituindo :
Para :
Comparando coeficientes:
Coeficiente de :
Coeficiente de :
Termo constante:
Substituindo :
Passo 5
Agora, organizamos os coeficientes encontrados em colunas para formar a matriz :
Passo 6
Pronto! Agora já temos a matriz de mudança de base . Repetiríamos um processo semelhante para encontrar e , expressando cada vetor das bases de destino em termos das bases de origem e organizando os coeficientes nas respectivas matrizes.
Resposta
A matriz de mudança de base [I]beta^alpha = 0 & 6 & dfrac163 0 & -dfrac52 & -dfrac83 -5 & 0 & dfrac13 é