Quais dos seguintes subconjuntos de R^3 são subespaços vetoriais de R^3 ?
© (x, y, z) in R^3: x+y=0.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar se o conjunto é um subespaço vetorial de . Para isso, vamos utilizar os conceitos de subespaço vetorial, verificando se esse conjunto satisfaz as três condições necessárias para ser considerado um subespaço.

Passo 2

Primeiramente, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um conjunto é um subespaço de se:
  1. O vetor zero está em .
  2. é fechado sob adição de vetores.
  3. é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 3

Verificação 1: O vetor zero está em x + y = 0 + 0 = 0 .
O vetor zero em é . Vamos verificar se ele pertence a :
Como a condição é satisfeita, o vetor zero está em .

Passo 4

Verificação 2: Fechamento sob adição.
Vamos considerar dois vetores quaisquer em x1 + y1 = 0 x2 + y2 = 0 :
(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)
Somando esses vetores:
(x1 + x2) + (y1 + y2) = (x1 + y1) + (x2 + y2) = 0 + 0 = 0
Verificamos se:
Portanto, a soma de dois vetores em também pertence a .

Passo 5

Verificação 3: Fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja k cdot (x, y, z) = (k x, k y, k z) um escalar qualquer e k x + k y = k (x + y) = k cdot 0 = 0 . Multiplicando por :
Verificamos se:
Assim, o vetor resultante também pertence a .

Resposta

O conjunto é um subespaço vetorial de .

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