Verifique se os vetores abaixo sâo ou nâo combinações lineares de v=(12,14,1) e w= (0,2,-3). (1, 2512, 1812)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é verificar se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e . Isso envolve usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre combinações lineares e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma combinação linear. Queremos encontrar se existem números a cdot v + b cdot w = (1, 2512, 1812) e a cdot (12, 14, 1) + b cdot (0, 2, -3) = (1, 2512, 1812) tais que:
Substituindo os vetores e , a equação fica:

Passo 3

Vamos separar isso em componentes para formar um sistema de equações:
  1. Componente x:
12a + 0b = 1 Rightarrow 12a = 1
  1. Componente y:
14a + 2b = 2512
  1. Componente z:
1a - 3b = 1812 = 32

Passo 4

Começamos resolvendo a primeira equação para encontrar 12a = 1 Rightarrow a = 112 :

Passo 5

Agora, usamos o valor de 112 - 3b = 32 encontrado na terceira equação para resolver -3b = 32 - 112 = 1812 - 112 = 1712 :
b = -1736

Passo 6

Por último, vamos verificar se os valores de 14 cdot 112 + 2 cdot (-1736) = 1412 - 3436 = 76 - 1718 = 2118 - 1718 = 418 = 29 e satisfazem a segunda equação:
Mas a segunda componente do vetor que queremos é , que não é igual a .

Resposta

Como não conseguimos satisfazer todas as três equações simultaneamente, concluímos que o vetor não é uma combinação linear dos vetores e .

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