Calcule
e
, se
tem tem uma função densidade dada por:
5a
5a
Passo 1
Beleza, a gente tem um exercício que pede para calcular a esperança matemática
e a variância
de uma variável aleatória
que tem uma função densidade específica. A matéria aqui é sobre distribuição de probabilidades contínuas, e para resolver vamos precisar usar integrais e as fórmulas de esperança e variância.
Passo 2
Vamos começar calculando a esperança
. A esperança é como a média ponderada de todos os possíveis valores que
pode assumir, ponderados pela probabilidade de cada valor. Para variáveis contínuas, usamos a fórmula:
No nosso caso, a função densidade
só é positiva para
, então a integral vai de 0 até infinito.
Passo 3
Substituindo a função densidade na fórmula da esperança:
Essa integral é uma forma de uma integral gamma. Sabemos que:
No nosso caso,
e
, então:
Então:
Passo 4
Agora vamos calcular a variância
. A variância é dada por:
Já calculamos
, então precisamos encontrar
:
Usando a mesma fórmula da integral gamma:
Então:
Passo 5
Finalmente, calculamos a variância:
Resposta
A esperança
é igual a
e a variância
é igual a
.