Calcule E(X) e Var(X), se X tem tem uma função densidade dada por:
5a
f(x)=cr 14 x e^-x2, & se x>0 0, & caso contrário á

Passo 1

Beleza, a gente tem um exercício que pede para calcular a esperança matemática E(X) e a variância Var(X) de uma variável aleatória X que tem uma função densidade específica. A matéria aqui é sobre distribuição de probabilidades contínuas, e para resolver vamos precisar usar integrais e as fórmulas de esperança e variância.

Passo 2

Vamos começar calculando a esperança E(X). A esperança é como a média ponderada de todos os possíveis valores que X pode assumir, ponderados pela probabilidade de cada valor. Para variáveis contínuas, usamos a fórmula:
E(X) = integral-infty^infty x f(x) , dx
No nosso caso, a função densidade f(x) só é positiva para x > 0, então a integral vai de 0 até infinito.

Passo 3

Substituindo a função densidade na fórmula da esperança:
E(X) = integral0^infty x ( 14 x e^-x2 ) dx = 14 integral0^infty x^2 e^-x2 dx
Essa integral é uma forma de uma integral gamma. Sabemos que:
integral0^infty x^n e^-ax dx = n!a^n+1
No nosso caso, n = 2 e a = 12, então:
integral0^infty x^2 e^-x2 dx = 2!(12)^3 = 218 = 16
Então:
E(X) = 14 times 16 = 4

Passo 4

Agora vamos calcular a variância Var(X). A variância é dada por:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Já calculamos E(X) = 4, então precisamos encontrar E(X^2):
E(X^2) = integral0^infty x^2 f(x) , dx = integral0^infty x^2 ( 14 x e^-x2 ) dx = 14 integral0^infty x^3 e^-x2 dx
Usando a mesma fórmula da integral gamma:
integral0^infty x^3 e^-x2 dx = 3!(12)^4 = 6116 = 96
Então:
E(X^2) = 14 times 96 = 24

Passo 5

Finalmente, calculamos a variância:
Var(X) = 24 - (4)^2 = 24 - 16 = 8

Resposta

A esperança E(X) é igual a 4 e a variância Var(X) é igual a 8.

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