Calcule e , se tem tem uma função densidade dada por:
5a
á

Passo 1

Beleza, a gente tem um exercício que pede para calcular a esperança matemática e a variância de uma variável aleatória que tem uma função densidade específica. A matéria aqui é sobre distribuição de probabilidades contínuas, e para resolver vamos precisar usar integrais e as fórmulas de esperança e variância.

Passo 2

Vamos começar calculando a esperança . A esperança é como a média ponderada de todos os possíveis valores que pode assumir, ponderados pela probabilidade de cada valor. Para variáveis contínuas, usamos a fórmula:
No nosso caso, a função densidade só é positiva para , então a integral vai de 0 até infinito.

Passo 3

Substituindo a função densidade na fórmula da esperança:
Essa integral é uma forma de uma integral gamma. Sabemos que:
No nosso caso, e , então:
Então:

Passo 4

Agora vamos calcular a variância . A variância é dada por:
Já calculamos , então precisamos encontrar :
Usando a mesma fórmula da integral gamma:
Então:

Passo 5

Finalmente, calculamos a variância:

Resposta

A esperança é igual a e a variância é igual a .

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3a
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Determine
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13a
(a)