Calcule e , se tem tem uma função densidade dada por:
5a
Passo 1
Beleza, a gente tem um exercício que pede para calcular a esperança matemática e a variância de uma variável aleatória que tem uma função densidade específica. A matéria aqui é sobre distribuição de probabilidades contínuas, e para resolver vamos precisar usar integrais e as fórmulas de esperança e variância.
Passo 2
Vamos começar calculando a esperança . A esperança é como a média ponderada de todos os possíveis valores que pode assumir, ponderados pela probabilidade de cada valor. Para variáveis contínuas, usamos a fórmula:
No nosso caso, a função densidade só é positiva para , então a integral vai de 0 até infinito.
Passo 3
Substituindo a função densidade na fórmula da esperança:
Essa integral é uma forma de uma integral gamma. Sabemos que:
No nosso caso, e , então:
Então:
Passo 4
Agora vamos calcular a variância . A variância é dada por: