A quantidade de tempo em horas que um computador funciona sem estragar é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade
3a
Qual é a probabilidade de que
(a) o computador funcione entre 50 e 150 horas antes de estragar?
Qual é a probabilidade de que
(a) o computador funcione entre 50 e 150 horas antes de estragar?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pergunta qual a probabilidade de um computador funcionar entre 50 e 150 horas antes de estragar. Isso envolve o conceito de variável aleatória contínua e a função densidade de probabilidade. Para resolver, vamos precisar integrar a função
entre 50 e 150 horas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função densidade de probabilidade dada:
Aqui,
é uma constante que faz com que a área total sob a curva
seja 1, garantindo que seja uma distribuição válida.
Passo 3
Para que a função
seja uma distribuição de probabilidade válida, a integral de
de 0 até infinito deve ser igual a 1:
Resolvendo essa integral, encontramos que
. Então, a função fica:
Passo 4
Agora, queremos encontrar a probabilidade de
estar entre 50 e 150 horas. Isso é dado por:
Essa é uma integral da função exponencial, que vamos resolver a seguir.
Passo 5
Resolvendo a integral:
Calculando os valores:
Então:
Resposta
A probabilidade de que o computador funcione entre 50 e 150 horas antes de estragar é aproximadamente 38,34%.