A quantidade de tempo em horas que um computador funciona sem estragar é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade
f(x)=cc lambda e^-x / 100, & se x >= 0 0, & se x<0
3a
Qual é a probabilidade de que
(a) o computador funcione entre 50 e 150 horas antes de estragar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pergunta qual a probabilidade de um computador funcionar entre 50 e 150 horas antes de estragar. Isso envolve o conceito de variável aleatória contínua e a função densidade de probabilidade. Para resolver, vamos precisar integrar a função entre 50 e 150 horas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função densidade de probabilidade dada:
f(x) = lambda e^-x / 100, & se x >= 0 0, & se x < 0
Aqui, é uma constante que faz com que a área total sob a curva seja 1, garantindo que seja uma distribuição válida.

Passo 3

Para que a função integral0^infty lambda e^-x / 100 dx = 1 seja uma distribuição de probabilidade válida, a integral de f(x) = 1100 e^-x / 100, x >= 0 de 0 até infinito deve ser igual a 1:
Resolvendo essa integral, encontramos que . Então, a função fica:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de P(50 <= X <= 150) = integral50^150 1100 e^-x / 100 dx estar entre 50 e 150 horas. Isso é dado por:
Essa é uma integral da função exponencial, que vamos resolver a seguir.

Passo 5

Resolvendo a integral:
P(50 <= X <= 150) = [ -e^-x / 100 ]50^150 = -e^-150 / 100 + e^-50 / 100 = e^-0.5 - e^-1.5
Calculando os valores:
e^-0.5 approx 0.6065 e e^-1.5 approx 0.2231
Então:
P approx 0.6065 - 0.2231 = 0.3834

Resposta

A probabilidade de que o computador funcione entre 50 e 150 horas antes de estragar é aproximadamente 38,34%.

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