A quantidade de tempo em horas que um computador funciona sem estragar é uma variável aleatória contínua com função densidade de probabilidade
3a
Qual é a probabilidade de que
(a) o computador funcione entre 50 e 150 horas antes de estragar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pergunta qual a probabilidade de um computador funcionar entre 50 e 150 horas antes de estragar. Isso envolve o conceito de variável aleatória contínua e a função densidade de probabilidade. Para resolver, vamos precisar integrar a função entre 50 e 150 horas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função densidade de probabilidade dada:
Aqui, é uma constante que faz com que a área total sob a curva seja 1, garantindo que seja uma distribuição válida.

Passo 3

Para que a função seja uma distribuição de probabilidade válida, a integral de de 0 até infinito deve ser igual a 1:
Resolvendo essa integral, encontramos que . Então, a função fica:

Passo 4

Agora, queremos encontrar a probabilidade de estar entre 50 e 150 horas. Isso é dado por:
Essa é uma integral da função exponencial, que vamos resolver a seguir.

Passo 5

Resolvendo a integral:
Calculando os valores:
Então:

Resposta

A probabilidade de que o computador funcione entre 50 e 150 horas antes de estragar é aproximadamente 38,34%.

Exercícios relacionados

Determine
Determine o estimador de máxima verossimilhança dos parâmetros nos seguintes casos:
c) Sejam uma aa proveniente de uma população com função de probabilidade de uma distribuição exponencial com parâmetro . (Resposta: )
Calcule e , se tem tem uma função densidade dada por:
5a
á
Em cada uma das situações, escreva a afirmação como uma sentença matemática e identifique as hipóteses nula e alternativa.
b) Um fabricante de torneiras anuncia que o índice médio de fluxo de água de certo tipo de torneira é menor que 2,5 galões por minuto (gpm).