Calcule a velocidade de escape de uma partícula, do sistema solar, que está à mesma distância do Sol e da Terra (e na mesma linha que liga estes corpos). Suponha, para isso, que apenas o Sol e a Terra exerçam força gravitacional sobre a partícula e utilize considerações de energia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a velocidade de escape de uma partícula que está equidistante do Sol e da Terra, e alinhada na mesma linha que conecta esses dois corpos. Para isso, vamos usar conceitos de energia gravitacional e cinética. Vamos precisar entender como a energia potencial gravitacional e a energia cinética se relacionam para determinar a velocidade necessária para a partícula escapar da influência gravitacional do Sistema Solar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de escape é a mínima velocidade que uma partícula precisa ter para escapar da atração gravitacional de um corpo celeste sem mais propulsão. A equação da velocidade de escape de um corpo em relação ao Sol é dada por:
vesc = raiz2 G Mr
Onde:
  • é a constante gravitacional ( ),
  • é a massa do corpo (neste caso, o Sol e a Terra),
  • é a distância da partícula ao corpo.

Passo 3

No nosso caso, a partícula está à mesma distância do Sol e da Terra. Então, precisamos considerar a influência gravitacional de ambos os corpos. A energia potencial gravitacional total U = -G Msol mr - G Mterra mr será a soma das energias potenciais devido ao Sol e à Terra:
Onde:
  • é a massa do Sol ( ),
  • é a massa da Terra ( ),
  • é a massa da partícula,
  • é a distância tanto ao Sol quanto à Terra.

Passo 4

A energia cinética K = 12 m v^2 da partícula é dada por:
12 m vesc^2 = G Msol mr + G Mterra mr
Para que a partícula escape, sua energia cinética deve ser igual à energia potencial negativa:

Passo 5

Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por 12 vesc^2 = G Msolr + G Mterrar :
12 vesc^2 = Gr (Msol + Mterra)
Fatorando :

Passo 6

Agora, isolamos vesc^2 = 2 G (Msol + Mterra)r :
vesc = raiz2 G (Msol + Mterra)r

Passo 7

Precisamos determinar o valor de , a distância da partícula ao Sol e à Terra. Se considerarmos que a partícula está alinhada e equidistante, e sabendo que a distância média entre a Terra e o Sol é aproximadamente , então .

Passo 8

Agora, substituímos os valores na equação:
vesc = raiz2 times 6,674 times 10^-11 , N cdot m^2/kg^2 times (1,989 times 10^30 , kg + 5,972 times 10^24 , kg)1,496 times 10^11 , m
Como a massa do Sol é muito maior que a da Terra, podemos simplificar vesc approx raiz2 times 6,674 times 10^-11 times 1,989 times 10^301,496 times 10^11 :

Passo 9

Calculando os valores:
vesc approx raiz2 times 6,674 times 10^-11 times 1,989 times 10^301,496 times 10^11
Primeiro, calculamos o numerador:
2 times 6,674 times 10^-11 times 1,989 times 10^30 = 2,654 times 10^20 , m^3/s^2
Depois, dividimos pelo denominador:
2,654 times 10^201,496 times 10^11 = 1,776 times 10^9 , m^2/s^2
Agora, tiramos a raiz quadrada:
vesc = raiz1,776 times 10^9 approx 4,215 times 10^4 , m/s

Resposta

A velocidade de escape da partícula é aproximadamente .

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