Calcule a velocidade de escape de uma partícula, do sistema solar, que está à mesma distância do Sol e da Terra (e na mesma linha que liga estes corpos). Suponha, para isso, que apenas o Sol e a Terra exerçam força gravitacional sobre a partícula e utilize considerações de energia.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a velocidade de escape de uma partícula que está equidistante do Sol e da Terra, e alinhada na mesma linha que conecta esses dois corpos. Para isso, vamos usar conceitos de energia gravitacional e cinética. Vamos precisar entender como a energia potencial gravitacional e a energia cinética se relacionam para determinar a velocidade necessária para a partícula escapar da influência gravitacional do Sistema Solar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade de escape é a mínima velocidade que uma partícula precisa ter para escapar da atração gravitacional de um corpo celeste sem mais propulsão. A equação da velocidade de escape de um corpo em relação ao Sol é dada por:
Onde:
-
é a constante gravitacional ( ), -
é a massa do corpo (neste caso, o Sol e a Terra), -
é a distância da partícula ao corpo.
Passo 3
No nosso caso, a partícula está à mesma distância do Sol e da Terra. Então, precisamos considerar a influência gravitacional de ambos os corpos. A energia potencial gravitacional total
será a soma das energias potenciais devido ao Sol e à Terra:
Onde:
-
é a massa do Sol ( ), -
é a massa da Terra ( ), -
é a massa da partícula, -
é a distância tanto ao Sol quanto à Terra.
Passo 4
A energia cinética
da partícula é dada por:
Para que a partícula escape, sua energia cinética deve ser igual à energia potencial negativa:
Passo 5
Podemos simplificar a equação dividindo ambos os lados por
:
Fatorando
:
Passo 6
Agora, isolamos
:
Passo 7
Precisamos determinar o valor de
, a distância da partícula ao Sol e à Terra. Se considerarmos que a partícula está alinhada e equidistante, e sabendo que a distância média entre a Terra e o Sol é aproximadamente
, então
.
Passo 8
Agora, substituímos os valores na equação:
Como a massa do Sol é muito maior que a da Terra, podemos simplificar
:
Passo 9
Calculando os valores:
Primeiro, calculamos o numerador:
Depois, dividimos pelo denominador:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Resposta
A velocidade de escape da partícula é aproximadamente
.