(b) Um relógio controlado por um pêndulo de latão marca o tempo corretamente a
. Se a temperatura ambiente for
, o relógio fica mais rápido ou mais lento? Qual é o seu erro em segundos por dia?
Passo 1
Vamos resolver um problema sobre um relógio de pêndulo feito de latão que marca o tempo corretamente a
. Queremos descobrir o que acontece quando a temperatura ambiente aumenta para
. Especificamente, vamos ver se o relógio fica mais rápido ou mais lento e calcular qual é o erro em segundos por dia. Para isso, vamos precisar entender como a temperatura afeta o comprimento do pêndulo e, consequentemente, o período do pêndulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o período de um pêndulo simples, que é o tempo que ele leva para completar uma oscilação, depende do comprimento do pêndulo e da aceleração da gravidade. A fórmula do período é:
Onde:
-
é o período, -
é o comprimento do pêndulo, -
é a aceleração da gravidade (aproximadamente ).
Passo 3
Agora, sabemos que o latão se expande quando a temperatura aumenta. A expansão linear de um material devido à temperatura é dada por:
Onde:
-
é a variação no comprimento, -
é o coeficiente de dilata��ão linear do material, -
é o comprimento original, -
é a variação de temperatura.
Para o latão, o coeficiente de dilatação linear (
) é aproximadamente
.
Passo 4
Vamos calcular a variação de temperatura:
Passo 5
Então, a variação no comprimento do pêndulo será:
Isso significa que o comprimento do pêndulo aumenta em
.
Passo 6
Com o aumento do comprimento, vamos ver como o período do pêndulo é afetado. Se o comprimento aumenta, o período também aumenta, já que
. Portanto, o relógio vai ficar mais lento.
Passo 7
Para encontrar o erro em segundos por dia, primeiro precisamos determinar como a mudança no período afeta o tempo total em um dia.
Sabemos que um dia tem
segundos.
A variação relativa no período é:
Passo 8
Isso significa que, a cada período, o relógio está atrasando
. Para calcular o erro total em um dia, multiplicamos essa fração pelo número de segundos em um dia:
Resposta
O relógio ficará mais lento, com um erro de aproximadamente 8,2 segundos por dia.
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