(b) Um relógio controlado por um pêndulo de latão marca o tempo corretamente a 20^circ C. Se a temperatura ambiente for 30^circ C, o relógio fica mais rápido ou mais lento? Qual é o seu erro em segundos por dia?

Passo 1

Vamos resolver um problema sobre um relógio de pêndulo feito de latão que marca o tempo corretamente a 20^circ C. Queremos descobrir o que acontece quando a temperatura ambiente aumenta para 30^circ C. Especificamente, vamos ver se o relógio fica mais rápido ou mais lento e calcular qual é o erro em segundos por dia. Para isso, vamos precisar entender como a temperatura afeta o comprimento do pêndulo e, consequentemente, o período do pêndulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que o período de um pêndulo simples, que é o tempo que ele leva para completar uma oscilação, depende do comprimento do pêndulo e da aceleração da gravidade. A fórmula do período é:
T = 2pi raizLg
Onde:
  • T é o período,
  • L é o comprimento do pêndulo,
  • g é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 , m/s^2).

Passo 3

Agora, sabemos que o latão se expande quando a temperatura aumenta. A expansão linear de um material devido à temperatura é dada por:
De
Onde:
  • De é a variação no comprimento,
  • alpha é o coeficiente de dilata��ão linear do material,
  • L é o comprimento original,
  • De é a variação de temperatura.
Para o latão, o coeficiente de dilatação linear ( alpha) é aproximadamente 19 times 10^-6 , °C^-1.

Passo 4

Vamos calcular a variação de temperatura:
De

Passo 5

Então, a variação no comprimento do pêndulo será:
De
Isso significa que o comprimento do pêndulo aumenta em 0,019%.

Passo 6

Com o aumento do comprimento, vamos ver como o período do pêndulo é afetado. Se o comprimento aumenta, o período também aumenta, já que T propto raizL. Portanto, o relógio vai ficar mais lento.

Passo 7

Para encontrar o erro em segundos por dia, primeiro precisamos determinar como a mudança no período afeta o tempo total em um dia.
Sabemos que um dia tem 86400 segundos.
A variação relativa no período é:
De

Passo 8

Isso significa que, a cada período, o relógio está atrasando 0,0095%. Para calcular o erro total em um dia, multiplicamos essa fração pelo número de segundos em um dia:
Erro = 86400 times 9.5 times 10^-5 approx 8,2 , segundos

Resposta

O relógio ficará mais lento, com um erro de aproximadamente 8,2 segundos por dia.

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