Calcule a velocidade necessária para que um projétil, disparado a partir da superficie da terra, alcance uma altitude (medida a partir da superficie) de três vezes o raio da terra. Considere a terra perfeitamente esférica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer descobrir qual a velocidade que um projétil precisa ter quando é lançado da superfície da Terra para alcançar uma altitude que é três vezes o raio da Terra. Vamos usar conceitos de energia mecânica e gravitação universal para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as energias envolvidas. Quando o projétil é lançado, ele tem energia cinética devido à sua velocidade e energia potencial gravitacional porque está sendo puxado pela Terra. À medida que ele sobe, a energia cinética diminui enquanto a energia potencial aumenta.

Passo 3

A energia cinética (EC) é dada por:
EC = 12 m v^2
Onde:
  • é a massa do projétil
  • é a velocidade inicial que queremos encontrar

Passo 4

A energia potencial gravitacional (EP) é:
EP = -G M mR
Onde:
  • é a constante gravitacional ( )
  • é a massa da Terra ( )
  • é o raio da Terra ( )
O sinal negativo indica que a energia está ligada à atração gravitacional.

Passo 5

No ponto mais alto da trajetória, a velocidade do projétil será zero (ele para momentaneamente), então toda a energia cinética inicial foi convertida em energia potencial. A altura EPa que queremos atingir é três vezes o raio da Terra, ou seja, . A distância total do centro da Terra será .
A energia potencial nesse ponto é:

Passo 6

Usando a conservação da energia mecânica:
EC + EP = EPa
Substituindo as expressões:
12 m v^2 - G M mR = -G M m4R

Passo 7

Vamos simplificar a equação. Primeiro, podemos cancelar a massa 12 v^2 - G MR = -G M4R dos lados:
12 v^2 = G MR - G M4R
Agora, isole a parte com 12 v^2 = 3 G M4R :

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 2 para resolver para v^2 = 6 G M4R :
v^2 = 3 G M2 R
Simplificando:

Passo 9

Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar a velocidade v = raiz3 G M2 R :

Resposta

A velocidade necessária para que o projétil alcance uma altitude de três vezes o raio da Terra é:
v = raiz3 G M2 R
Onde:
Substituindo os valores, você pode calcular o valor numérico dessa velocidade.

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