Calcule a velocidade necessária para que um projétil, disparado a partir da superficie da terra, alcance uma altitude (medida a partir da superficie) de três vezes o raio da terra. Considere a terra perfeitamente esférica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer descobrir qual a velocidade que um projétil precisa ter quando é lançado da superfície da Terra para alcançar uma altitude que é três vezes o raio da Terra. Vamos usar conceitos de energia mecânica e gravitação universal para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as energias envolvidas. Quando o projétil é lançado, ele tem energia cinética devido à sua velocidade e energia potencial gravitacional porque está sendo puxado pela Terra. À medida que ele sobe, a energia cinética diminui enquanto a energia potencial aumenta.
Passo 3
A energia cinética (EC) é dada por:
Onde:
-
é a massa do projétil -
é a velocidade inicial que queremos encontrar
Passo 4
A energia potencial gravitacional (EP) é:
Onde:
-
é a constante gravitacional ( ) -
é a massa da Terra ( ) -
é o raio da Terra ( )
O sinal negativo indica que a energia está ligada à atração gravitacional.
Passo 5
No ponto mais alto da trajetória, a velocidade do projétil será zero (ele para momentaneamente), então toda a energia cinética inicial foi convertida em energia potencial. A altura
que queremos atingir é três vezes o raio da Terra, ou seja,
. A distância total do centro da Terra será
.
A energia potencial nesse ponto é:
Passo 6
Usando a conservação da energia mecânica:
Substituindo as expressões:
Passo 7
Vamos simplificar a equação. Primeiro, podemos cancelar a massa
dos lados:
Agora, isole a parte com
:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por 2 para resolver para
:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar a velocidade
:
Resposta
A velocidade necessária para que o projétil alcance uma altitude de três vezes o raio da Terra é:
Onde:
Substituindo os valores, você pode calcular o valor numérico dessa velocidade.