Considere um sistema constituído de um corpo de massa 2,5 Kg, preso a uma mola de constante elástica (K=400 N / m), que está presa a uma parede rígida. Sabendo que o corpo desliza sobre um plano horizontal sem atrito, com uma amplitude de 0,3 m, Calcule a velocidade do corpo quando ele passa por uma posição distante de 0,2 m do ponto de equilibrio do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema massa-mola: uma massa de ligada a uma mola com constante elástica , deslizando sem atrito sobre um plano horizontal. A amplitude do movimento é de e queremos descobrir qual a velocidade da massa quando ela está a do ponto de equilíbrio. Para isso, vamos usar o princípio da conservação da energia mecânica, que diz que a energia total do sistema permanece constante se não houver atrito ou outras forças dissipativas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia potencial elástica da mola quando a massa está na amplitude máxima, ou seja, a Ep = 12 K x^2 do equilíbrio. A fórmula da energia potencial elástica é:
Epmáx = 12 times 400 , N/m times (0,3 , m)^2 = 12 times 400 times 0,09 = 18 , J
onde é a deformação da mola. Substituindo os valores:
á
Então, a energia total do sistema é .

Passo 3

Agora, queremos saber a velocidade quando a massa est�� a Ek = 12 m v^2 do equilíbrio. Nesse ponto, a mola ainda está comprimida, então parte da energia está na forma de energia potencial elástica e o restante está na forma de energia cinética. A energia cinética é dada por:
Ep = 12 K x^2 = 12 times 400 times (0,2)^2 = 12 times 400 times 0,04 = 8 , J
A energia potencial nessa posição é:

Passo 4

Pela conservação da energia, a energia total na amplitude é igual à soma da energia potencial e cinética quando a massa está a Epmáx = Ep + Ek :
18 , J = 8 , J + 12 times 2,5 , kg times v^2 á
18 - 8 = 12 times 2,5 times v^2
Vamos resolver para 10 = 1,25 times v^2 :
v^2 = 101,25 = 8
v = raiz8 approx 2,828 , m/s

Resposta

A velocidade do corpo quando ele passa a do ponto de equilíbrio é aproximadamente .

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