Um circuito RLC série tem uma indutância . Uma capacitância e uma resistência . (a) Em que instante a amplitude das oscilações da carga do circuito é do valor inicial? (b) Quantas oscilações o circuito executou até esse instante?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de um circuito RLC série! A gente tem uma indutância , uma capacitância e uma resistência . A questão é dividida em duas partes:
a) Encontrar o instante em que a amplitude das oscilações da carga é 50% do valor inicial.
b) Descobrir quantas oscilações o circuito realizou até esse instante.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de teoria de circuitos RLC, especialmente sobre amortecimento e oscilações. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RLC série, o comportamento das oscilações depende da resistência . Se a resistência for tal que o circuito esteja subamortecido (o que acontece quando ), teremos oscilações decrescentes ao longo do tempo.
Vamos verificar se esse é o caso:
Como , o circuito está subamortecido e teremos oscilações.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a frequência das oscilações amortecidas. A frequência angular amortecida é dada por:
Vamos calcular isso:

Passo 4

A amplitude da carga em um circuito subamortecido diminui exponencialmente com o tempo:
Queremos que . Vamos substituir e resolver para :

Passo 5

Agora, para descobrir quantas oscilações ocorreram até esse instante , usamos a frequência das oscilações amortecidas . A frequência é:
O número de oscilações em tempo é:
Isso significa que o circuito realizou aproximadamente 12 oscilações completas até o instante em que a amplitude caiu para 50%.

Resposta

a) O instante em que a amplitude das oscilações da carga é 50% do valor inicial é aproximadamente segundos.
b) Até esse instante, o circuito executou aproximadamente 13 oscilações.

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