Um circuito RLC série tem uma indutância L=12 mH. Uma capacitância C=1,6 mu F e uma resistência R=1,5 Omega. (a) Em que instante t a amplitude das oscilações da carga do circuito é 50 % do valor inicial? (b) Quantas oscilações o circuito executou até esse instante?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de um circuito RLC série! A gente tem uma indutância , uma capacitância e uma resistência . A questão é dividida em duas partes:
a) Encontrar o instante em que a amplitude das oscilações da carga é 50% do valor inicial.
b) Descobrir quantas oscilações o circuito realizou até esse instante.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco de teoria de circuitos RLC, especialmente sobre amortecimento e oscilações. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito RLC série, o comportamento das oscilações depende da resistência R = 1,5 , Omega 2raizLC = 2 raiz12 times 10^-3 , H1,6 times 10^-6 , F = 2 raiz7500 approx 2 times 86,6 = 173,2 , Omega . Se a resistência for tal que o circuito esteja subamortecido (o que acontece quando ), teremos oscilações decrescentes ao longo do tempo.
Vamos verificar se esse é o caso:
Como , o circuito está subamortecido e teremos oscilações.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a frequência das oscilações amortecidas. A frequência angular amortecida omegad = raiz1LC - ( R2L )^2 é dada por:
1LC = 112 times 10^-3 times 1,6 times 10^-6 = 119,2 times 10^-9 approx 52,08 times 10^6 , rad^2/s^2 ( R2L )^2 = ( 1,52 times 12 times 10^-3 )^2 = ( 1,50,024 )^2 = ( 62,5 )^2 = 3906,25 , rad^2/s^2 omegad = raiz52,08 times 10^6 - 3906,25 approx raiz52,08 times 10^6 approx 7207,6 , rad/s
Vamos calcular isso:

Passo 4

A amplitude da carga Q(t) = Q0 e^-R2L t em um circuito subamortecido diminui exponencialmente com o tempo:
0,5 Q0 = Q0 e^-R2L t 0,5 = e^-1,52 times 12 times 10^-3 t 0,5 = e^-62,5 t ln(0,5) = -62,5 t t = ln(0,5)-62,5 approx -0,6931-62,5 approx 0,01109 , segundos
Queremos que . Vamos substituir e resolver para :

Passo 5

Agora, para descobrir quantas oscilações ocorreram até esse instante fd = omegad2pi approx 7207,62pi approx 1146,5 , Hz , usamos a frequência das oscilações amortecidas N = fd times t approx 1146,5 times 0,01109 approx 12,73 . A frequência é:
O número de oscilações em tempo é:
Isso significa que o circuito realizou aproximadamente 12 oscilações completas até o instante em que a amplitude caiu para 50%.

Resposta

a) O instante em que a amplitude das oscilações da carga é 50% do valor inicial é aproximadamente segundos.
b) Até esse instante, o circuito executou aproximadamente 13 oscilações.

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