Cálcule e verifique sua resposta por derivação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de
em relação a
. Esse problema está na área do Cálculo Integral, mais especificamente em integração de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar saber como integrar potências de
e depois verificar a resposta fazendo a derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a raiz sétima de
em forma de potência. Lembra que
. Então:
Passo 3
Agora, nossa integral fica:
Para integrar uma função da forma
, onde
é qualquer número real, usamos a regra básica da integração:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Aplicando essa regra à nossa função, temos
. Então:
Passo 5
Vamos simplificar o expoente e o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 6
Dividir por
é o mesmo que multiplicar por
. Então:
Passo 7
Pronto, essa é a expressão da integral. Agora, vamos verificar fazendo a derivada para ter certeza de que chegamos na resposta correta.
Passo 8
Vamos derivar
. A constante
desaparece, e aplicamos a regra da potência na derivada:
Passo 9
Simplificando os coeficientes:
E o expoente:
Passo 10
Então, a derivada fica:
Isso confirma que nossa integral está correta.