Cálcule e verifique sua resposta por derivação.
integral raiz[7]x^4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de em relação a . Esse problema está na área do Cálculo Integral, mais especificamente em integração de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar saber como integrar potências de e depois verificar a resposta fazendo a derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a raiz sétima de raiz[7]x^4 = x^4/7 em forma de potência. Lembra que . Então:

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral x^4/7 , dx
Para integrar uma função da forma integral x^k , dx = x^k+1k+1 + C , onde é qualquer número real, usamos a regra básica da integração:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa função, temos integral x^4/7 , dx = x^(4/7)+1(4/7)+1 + C . Então:

Passo 5

Vamos simplificar o expoente e o denominador:
47 + 1 = 47 + 77 = 117
Então, a integral fica:
x^11/711/7 + C

Passo 6

Dividir por 711 x^11/7 + C é o mesmo que multiplicar por . Então:

Passo 7

Pronto, essa é a expressão da integral. Agora, vamos verificar fazendo a derivada para ter certeza de que chegamos na resposta correta.

Passo 8

Vamos derivar ddx ( 711 x^11/7 ) = 711 cdot 117 x^(11/7)-1 . A constante desaparece, e aplicamos a regra da potência na derivada:

Passo 9

Simplificando os coeficientes:
711 cdot 117 = 1
E o expoente:
117 - 1 = 117 - 77 = 47

Passo 10

Então, a derivada fica:
1 cdot x^4/7 = x^4/7
Isso confirma que nossa integral está correta.

Resposta

integral raiz[7]x^4 , dx = 711 x^11/7 + C

Exercícios relacionados