Calcule o vetor gradiente das funções abaixo no ponto pedido: f: R^2 -> R dada por f(x, y) = x^3 * y^2 + 3 * x * y^2 + 2 * x + 4 * y + 2, no ponto (2,6).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o vetor gradiente da função no ponto . O vetor gradiente é super importante porque ele nos dá a direção de maior aumento da função naquele ponto. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Isso significa que tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a .
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aqui, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a .
Derivando a função original em relação a :

Passo 4

Com as derivadas parciais encontradas, vamos agora avaliar cada uma delas no ponto .
Primeiro, para :
Depois, para :

Resposta

O vetor gradiente da função no ponto é:

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http://www.w3.org/2000/svg” width=“19.339ex” height=“4.575ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1327.8 8548 2022”><title>s = ((t^2 - 1)^2) / ((t^2 + 1)^2), t ≥ 0 ; t1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D460” d=“M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(746.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 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151T303 153H307Q322 153 322 145Q322 142 319 133Q314 117 301 95T267 48T216 6T155 -11Q125 -11 98 4T59 56Q57 64 57 83V101L92 241Q127 382 128 383Q128 385 77 385H26Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(394,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1255.6,0)”><path data-c=“2212” d=“M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” 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136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(268.8,-517.4) scale(0.707)”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(389,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D461” d=“M26 385Q19 392 19 395Q19 399 22 411T27 425Q29 430 36 430T87 431H140L159 511Q162 522 166 540T173 566T179 586T187 603T197 615T211 624T229 626Q247 625 254 615T261 596Q261 589 252 549T232 470L222 433Q222 431 272 431H323Q330 424 330 420Q330 398 317 385H210L174 240Q135 80 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<html><head></head><body><div>Encontre a Jacobiana das funções abaixo no ponto correspondente. <span class="math-inline ">
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