Calcule o vetor gradiente das funções abaixo no ponto pedido: f: R^2 -> R dada por f(x, y) = x^3 * y^2 + 3 * x * y^2 + 2 * x + 4 * y + 2, no ponto (2,6).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o vetor gradiente da função no ponto . O vetor gradiente é super importante porque ele nos dá a direção de maior aumento da função naquele ponto. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da função em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Isso significa que tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a .
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Aqui, tratamos como uma constante e diferenciamos em relação a .
Derivando a função original em relação a :

Passo 4

Com as derivadas parciais encontradas, vamos agora avaliar cada uma delas no ponto .
Primeiro, para :
Depois, para :

Resposta

O vetor gradiente da função no ponto é:

Exercícios relacionados