Encontre a Jacobiana das funções abaixo no ponto correspondente. T: R^3 -> R^3 dada por T(x, y, z) = (x + 2y + 3z, 3x + 4y, 8z + 12x + 37y) em qualquer ponto de R^3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a Jacobiana da função definida por em qualquer ponto de .
Conteúdo da matéria: A Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais de uma função vetorial. Ela é usada para entender como pequenas variações nas entradas da função afetam as saídas.
O que vamos precisar: Saber como calcular derivadas parciais e montar a matriz Jacobiana com elas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes da função . Ela mapeia um vetor para outro vetor , onde:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente de em relação a cada variável , e .
Para :

Passo 4

Para :
áã

Passo 5

Para :

Passo 6

Com todas as derivadas parciais calculadas, vamos montar a matriz Jacobiana . A Jacobiana é uma matriz de onde é a dimensão da saída e a dimensão da entrada. No nosso caso, .
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A Jacobiana da função em qualquer ponto de é:

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