Encontre a Jacobiana das funções abaixo no ponto correspondente. dada por em qualquer ponto de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a Jacobiana da função definida por em qualquer ponto de .
Conteúdo da matéria: A Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais de uma função vetorial. Ela é usada para entender como pequenas variações nas entradas da função afetam as saídas.
O que vamos precisar: Saber como calcular derivadas parciais e montar a matriz Jacobiana com elas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes da função . Ela mapeia um vetor para outro vetor , onde:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de cada componente de em relação a cada variável , e .
Para :
Passo 4
Para :
Passo 5
Para :
Passo 6
Com todas as derivadas parciais calculadas, vamos montar a matriz Jacobiana. A Jacobiana é uma matriz de onde é a dimensão da saída e a dimensão da entrada. No nosso caso, .