A função
abaixo é diferenciável na origem? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pergunta se a função
definida por
é diferenciável na origem, ou seja, no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como limites, continuidade e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função
é diferenciável em
se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto. Na prática, isso significa que o limite
deve existir e ser igual a zero, onde
representa a aproximação linear da função na vizinhança de
.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso caso, onde
. A função
já está definida como zero na origem. Então, a condição de diferenciabilidade fica:
Como não sabemos ainda quais são as derivadas parciais, vamos primeiro verificar se
é contínua na origem, já que diferenciabilidade implica continuidade.
Passo 4
Para verificar a continuidade de
na origem, precisamos ver se:
Vamos calcular esse limite. Substituindo
para
:
Passo 5
Para calcular esse limite, podemos usar coordenadas polares, onde
e
, e
. Substituindo:
Passo 6
Agora, percebemos que o limite depende de
, ou seja, do caminho pelo qual
se aproxima de
. Por exemplo:
- Se
(caminho ao longo do eixo ), então . - Se
, então .
Como o limite depende de
, ele não é único. Portanto:
Passo 7
Já que o limite não existe, isso significa que
não é contínua na origem. E como diferenciabilidade implica continuidade, podemos concluir que
não é diferenciável no ponto
.
Resposta
A função
não é diferenciável na origem
porque o limite que define a continuidade não existe nesse ponto.
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dada por
em qualquer ponto de
.
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dada por
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.
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, no ponto
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.