A função abaixo é diferenciável na origem? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pergunta se a função definida por
é diferenciável na origem, ou seja, no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como limites, continuidade e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa uma função ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto. Na prática, isso significa que o limite
deve existir e ser igual a zero, onde representa a aproximação linear da função na vizinhança de .

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso caso, onde . A função já está definida como zero na origem. Então, a condição de diferenciabilidade fica:
Como não sabemos ainda quais são as derivadas parciais, vamos primeiro verificar se é contínua na origem, já que diferenciabilidade implica continuidade.

Passo 4

Para verificar a continuidade de na origem, precisamos ver se:
Vamos calcular esse limite. Substituindo para :

Passo 5

Para calcular esse limite, podemos usar coordenadas polares, onde e , e . Substituindo:

Passo 6

Agora, percebemos que o limite depende de , ou seja, do caminho pelo qual se aproxima de . Por exemplo:
  • Se (caminho ao longo do eixo ), então .
  • Se , então .
Como o limite depende de , ele não é único. Portanto:
ã

Passo 7

Já que o limite não existe, isso significa que não é contínua na origem. E como diferenciabilidade implica continuidade, podemos concluir que não é diferenciável no ponto .

Resposta

A função não é diferenciável na origem porque o limite que define a continuidade não existe nesse ponto.

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