s = (3 t / (2 t + 1))^4 ; t ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem uma função onde é maior ou igual a zero. O conteúdo que vamos usar para resolver isso envolve funções e derivadas, já que queremos entender como se comporta conforme varia. Vamos precisar calcular derivadas para encontrar pontos interessantes, como onde atinge seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o trabalho. Sabemos que . Para achar onde é máximo, vamos derivar em relação a e encontrar onde essa derivada é zero.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de em relação a . Usaremos a regra da cadeia para derivar:
A derivada de será:
Agora, vamos derivar :
Então, a derivada completa fica:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, onde pode ter máximos ou mínimos, igualamos a derivada a zero:
O numerador é zero quando . Vamos verificar se esse ponto é um máximo.

Passo 5

Analisando o comportamento da função, para :
Para tendendo ao infinito:
Portanto, o valor máximo de ocorre quando tende ao infinito, e se aproxima de .

Resposta

O valor máximo de é , atingido quando tende ao infinito.

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