Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente tem uma função
onde
é maior ou igual a zero. O conteúdo que vamos usar para resolver isso envolve funções e derivadas, já que queremos entender como
se comporta conforme
varia. Vamos precisar calcular derivadas para encontrar pontos interessantes, como onde
atinge seu valor máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar o trabalho. Sabemos que
. Para achar onde
é máximo, vamos derivar
em relação a
e encontrar onde essa derivada é zero.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Usaremos a regra da cadeia para derivar:
A derivada de
será:
Agora, vamos derivar
:
Então, a derivada completa fica:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, onde
pode ter máximos ou mínimos, igualamos a derivada a zero:
O numerador é zero quando
. Vamos verificar se esse ponto é um máximo.
Passo 5
Analisando o comportamento da função, para
:
Para
tendendo ao infinito:
Portanto, o valor máximo de
ocorre quando
tende ao infinito, e
se aproxima de
.
Resposta
O valor máximo de
é
, atingido quando
tende ao infinito.