Determine em quais números a seguinte função é diferenciável e em quais não.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir em quais números a função é diferenciável. A função é uma função por partes, ou seja, ela muda de fórmula dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos usar conhecimentos sobre funções por partes, continuidade e diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a definição da função :
Nossa missão é verificar onde essa função é diferenciável. Normalmente, para funções por partes, a gente precisa prestar atenção nos pontos onde a definição muda, que aqui são e .
Passo 3
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função nesses pontos. Uma função precisa ser contínua para ser diferenciável. Se a função não for contínua em algum ponto, ela com certeza não será diferenciável ali.
Passo 4
Vamos verificar a continuidade em e .
Para :
Como os limites laterais são iguais e iguais ao valor da função, é contínua em .
Para :
Aqui, os limites laterais não são iguais (), então não é contínua em .
Passo 5
Agora, sabendo sobre a continuidade, vamos falar sobre a diferenciabilidade.
Se a função não for contínua em algum ponto, ela automaticamente não é diferenciável ali. Portanto, já sabemos que não é diferenciável em .
Em , como a função é contínua, precisamos verificar se as derivadas laterais são iguais. Se forem, a função é diferenciável; se não, não é.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas nas partes onde a função é definida.
Para :
Para :
Para :
Passo 7
Agora, vamos verificar as derivadas nas proximidades de .
Derivada pela esquerda ():
Derivada pela direita ():
Como as derivadas laterais são iguais (), é diferenciável em .
Resposta
A função é diferenciável em todos os números reais, exceto em .