Utilize o método das variáveis separáveis para obter a solução geral das EDO x y^2 dx + (x^2 y + y^2) dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) escrita assim:
A matéria que vamos usar aqui é o método das variáveis separáveis para resolver EDOs. Esse método é útil quando conseguimos separar as variáveis e de forma que cada uma fique de um lado da equação. Para isso, vamos precisar manipular a equação para conseguir isolar em termos de ou vice-versa. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ver se conseguimos separar as variáveis. A equação dada é:
Vamos arrumar os termos para deixá-la de uma forma mais conveniente:
Agora, queremos organizar os termos de modo que todos os fiquem de um lado e os do outro.

Passo 3

Vamos dividir ambos os lados da equação por para simplificar:
Simplificando as frações:
Agora, temos:

Passo 4

Vamos tentar isolar e . Vamos dividir ambos os lados por :
Agora, podemos reescrever isso como:
Tentei separar as variáveis, mas ainda não está bem separado para integrar facilmente. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 5

Vamos olhar novamente para a equação original:
Podemos fatorar nos dois termos:
Isso pode nos ajudar a identificar uma estrutura que permita separar as variáveis.

Passo 6

Vamos dividir toda a equação por :
Agora, temos:
Parece que ainda estamos tentando isolar as variáveis. Vamos tentar uma substituição para facilitar a separação.

Passo 7

Vamos usar uma substituição para facilitar. Observamos que a equação pode ser homogênea. Vamos tentar a substituição:
Então, e .
Vamos substituir na equação original.

Passo 8

Substituindo e na equação original:
Simplificando:

Passo 9

Vamos expandir os termos:
Simplificando:

Passo 10

Notamos que a substituição está complicando mais a equação. Vamos voltar e tentar outra abordagem mais direta para separar as variáveis.

Passo 11

Vamos retornar à equação após dividir por :
Podemos reorganizar para isolar :
Então:

Passo 12

Simplificando o denominador:
Então:
Ainda não está totalmente separado, mas podemos tentar outra substituição.

Passo 13

Vamos tentar a substituição . Então, .
Vamos ver se isso ajuda a simplificar a equação.

Passo 14

Expressando em termos de :
Substituindo na equação:
Rearranjando:

Passo 15

Fatorando no lado direito:
Ainda está complicado. Vamos tentar uma abordagem diferente.

Passo 16

Vamos verificar se a equação é exata. Para que uma equação seja exata, devemos ter:
Onde e .
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação é exata!

Passo 17

Como a equação é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de apenas.

Passo 18

Agora, encontramos . Para encontrar , usamos:
Calculando a derivada de em relação a :
Igualando a :
Portanto:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 19

Agora, temos a função :
Como a equação é exata, .

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:
Onde é a constante de integração.

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