Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y sendo dados f(x, y)=x^5 y^3 e B=(x, y) in R^2: y >= x^2, x^2+y^2 <= 2𝟚.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é definida por e . Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral duplo, que nos ajuda a encontrar o volume sob uma superfície definida por uma função em uma região específica do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender bem a região onde vamos integrar. A condição representa todas as partes do plano acima da parábola . Já descreve um círculo centrado na origem com raio . Então, é a área que está acima da parábola e dentro desse círculo.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para e . É mais fácil integrar primeiro em e depois em . Vamos encontrar os pontos de interseção entre a parábola e o círculo .

Passo 4

Para achar os pontos de interseção, substituímos x^2 + (x^2)^2 = 2 implies x^2 + x^4 = 2 implies x^4 + x^2 - 2 = 0 na equação do círculo:
Resolvendo essa equação, encontramos , então . Portanto, os limites para vão de a .

Passo 5

Com os limites de y = raiz2 - x^2 determinados, para cada valor de entre e , varia da parábola até a parte superior do círculo. Para encontrar o limite superior de , isolamos na equação do círculo:
Então, varia de a .

Passo 6

Agora, podemos escrever a integral dupla com os limites de integração estabelecidos:
integral duplaB x^5 y^3 , dx , dy = integral-1^1 integralx^2^raiz2 - x^2 x^5 y^3 , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a integralx^2^raiz2 - x^2 y^3 , dy = [ y^44 ]x^2^raiz2 - x^2 = (raiz2 - x^2)^44 - (x^2)^44 :
(2 - x^2)^24 - x^84
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral em integral-1^1 x^5 ( (2 - x^2)^24 - x^84 ) , dx :
14 integral-1^1 x^5 ( (2 - x^2)^2 - x^8 ) , dx
Podemos fatorar (2 - x^2)^2 = 4 - 4x^2 + x^4 :
14 integral-1^1 x^5 (4 - 4x^2 + x^4 - x^8) , dx = 14 integral-1^1 (4x^5 - 4x^7 + x^9 - x^13) , dx
Expandindo 14 [ 4x^66 - 4x^88 + x^1010 - x^1414 ]-1^1 :
Então, a integral fica:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando de a , devido à função ser ímpar ( com ímpar integral de a é zero), todos os termos serão zero.

Resposta

O valor da integral dupla é .

Exercícios relacionados