Calcule
sendo dados
e
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é definida por
e
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral duplo, que nos ajuda a encontrar o volume sob uma superfície definida por uma função em uma região específica do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender bem a região
onde vamos integrar. A condição
representa todas as partes do plano acima da parábola
. Já
descreve um círculo centrado na origem com raio
. Então,
é a área que está acima da parábola e dentro desse círculo.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
. É mais fácil integrar primeiro em
e depois em
. Vamos encontrar os pontos de interseção entre a parábola
e o círculo
.
Passo 4
Para achar os pontos de interseção, substituímos
na equação do círculo:
Resolvendo essa equação, encontramos
, então
. Portanto, os limites para
vão de
a
.
Passo 5
Com os limites de
determinados, para cada valor de
entre
e
,
varia da parábola
até a parte superior do círculo. Para encontrar o limite superior de
, isolamos
na equação do círculo:
Então,
varia de
a
.
Passo 6
Agora, podemos escrever a integral dupla com os limites de integração estabelecidos:
Primeiro, integramos em relação a
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na integral em
:
Podemos fatorar
:
Expandindo
:
Então, a integral fica:
Agora, integramos termo a termo:
Calculando de
a
, devido à função ser ímpar (
com
ímpar integral de
a
é zero), todos os termos serão zero.
Resposta
O valor da integral dupla é
.