Inverta a ordem de integração
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma integral dupla onde integramos a função
primeiro em relação a
de
até 1, e depois em relação a
de 0 até 1. Nosso objetivo é inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para fazer isso, precisamos visualizar a região de integração no plano
.
Passo 2
Vamos desenhar a região de integração. Originalmente,
varia de 0 a 1. Para cada valor de
,
varia de
até 1. Isso significa que a região está limitada pela parábola
, pela linha
, pela linha vertical
e pela linha vertical
.
Passo 3
Ao inverter a ordem de integração, queremos que
seja a primeira variável a ser integrada. Observando a região,
varia de 0 até 1. Para cada valor de
,
varia desde 0 até
(pois
implica
).
Passo 4
Agora que identificamos os novos limites, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida. Primeiro integramos em relação a
de 0 até
e depois em relação a
de 0 até 1.
Resposta
A ordem invertida da integração é