Inverta a ordem de integração integral0^1[integralx^2^1 f(x, y) d y] d x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos uma integral dupla onde integramos a função primeiro em relação a de até 1, e depois em relação a de 0 até 1. Nosso objetivo é inverter a ordem de integração, ou seja, integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Para fazer isso, precisamos visualizar a região de integração no plano .

Passo 2

Vamos desenhar a região de integração. Originalmente, varia de 0 a 1. Para cada valor de , varia de até 1. Isso significa que a região está limitada pela parábola , pela linha , pela linha vertical e pela linha vertical .

Passo 3

Ao inverter a ordem de integração, queremos que seja a primeira variável a ser integrada. Observando a região, varia de 0 até 1. Para cada valor de , varia desde 0 até (pois implica ).

Passo 4

Agora que identificamos os novos limites, podemos reescrever a integral com a ordem de integração invertida. Primeiro integramos em relação a de 0 até e depois em relação a de 0 até 1.

Resposta

A ordem invertida da integração é
integral0^1 [ integral0^raizy f(x, y) , dx ] dy

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