Calcule a integral de superfície.
integral duplasigma z^2 d S, onde sigma é a porção do cone z=raizx^2+y^2 entre os planos z=1 e z-2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde é a porção do cone entre os planos e .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com integrais de superfície. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cone e calcular o elemento de área para configurar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cone. O cone x = r costheta, y = r sintheta, z = r pode ser reescrito como em coordenadas cilíndricas, onde e é o ângulo polar.
Então, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar nosso cálculo:
Com isso, varia de 1 a 2 (já que vai de 1 a 2) e varia de 0 a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS = raiz(partial zpartial r)^2 + (partial zpartial theta)^2 + 1 , r , dr , dtheta na superfície do cone. Em coordenadas cilíndricas, para uma superfície dada por partial zpartial r = 1 e partial zpartial theta = 0 , o elemento de área é:
dS = raiz1^2 + 0^2 + 1 , r , dr , dtheta = raiz2 , r , dr , dtheta
No nosso caso, , então:
Portanto:

Passo 4

Agora que temos a parametrização e o elemento de área, podemos expressar a integral de superfície em coordenadas cilíndricas:
integral duplasigma z^2 dS = integral0^2pi integral1^2 z^2 cdot raiz2 , r , dr , dtheta
Sabemos que z^2 = r^2 , então:
raiz2 integral0^2pi integral1^2 r^2 cdot r , dr , dtheta = raiz2 integral0^2pi integral1^2 r^3 , dr , dtheta
Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos calcular a integral em integral1^2 r^3 , dr = [ r^44 ]1^2 = 2^44 - 1^44 = 164 - 14 = 154 primeiro:
raiz2 cdot 154 integral0^2pi dtheta = raiz2 cdot 154 cdot 2pi = raiz2 cdot 154 cdot 2pi
Agora, a integral fica:

Passo 6

Simplificando:
raiz2 cdot 154 cdot 2pi = raiz2 cdot 152 pi = 15raiz22 pi

Resposta

A integral de superfície é .

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