Calcule a integral de superfície.
, onde
é a porção do cone
entre os planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície
, onde
é a porção do cone
entre os planos
e
.
Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com integrais de superfície. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cone e calcular o elemento de área
para configurar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cone. O cone
pode ser reescrito como
em coordenadas cilíndricas, onde
e
é o ângulo polar.
Então, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar nosso cálculo:
Com isso,
varia de 1 a 2 (já que
vai de 1 a 2) e
varia de 0 a
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área
na superfície do cone. Em coordenadas cilíndricas, para uma superfície dada por
, o elemento de área é:
No nosso caso,
, então:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos a parametrização e o elemento de área, podemos expressar a integral de superfície em coordenadas cilíndricas:
Sabemos que
, então:
Substituindo na integral:
Passo 5
Vamos calcular a integral em
primeiro:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Simplificando:
Resposta
A integral de superfície é
.
Exercícios relacionados
Confirme que o campo de forças
é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos
e
e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças numa partícula que se move de
até
, ao longo da curva lisa arbitrária.
e
.
Calcule
, sendo
e
Calcule o volume do conjunto dado: