Calcule a integral de superfície.
, onde é a porção do cone entre os planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde é a porção do cone entre os planos e .
Aqui, estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com integrais de superfície. Vamos precisar entender como parametrizar a superfície do cone e calcular o elemento de área para configurar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cone. O cone pode ser reescrito como em coordenadas cilíndricas, onde e é o ângulo polar.
Então, podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar nosso cálculo:
Com isso, varia de 1 a 2 (já que vai de 1 a 2) e varia de 0 a .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área na superfície do cone. Em coordenadas cilíndricas, para uma superfície dada por , o elemento de área é:
No nosso caso, , então:
Portanto:

Passo 4

Agora que temos a parametrização e o elemento de área, podemos expressar a integral de superfície em coordenadas cilíndricas:
Sabemos que , então:
Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos calcular a integral em primeiro:
Agora, a integral fica:

Passo 6

Simplificando:

Resposta

A integral de superfície é .

Exercícios relacionados

Confirme que o campo de forças é conservativo em alguma região aberta conexa contendo os pontos e e, então, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças numa partícula que se move de até , ao longo da curva lisa arbitrária.
e .
Calcule , sendo e
Calcule o volume do conjunto dado: