Calcule o volume do conjunto de todos os pontos (x, y, z) tais que x ≥ 0, y ≥ 0, x + y <= 1 e 0 <= z <= 1 - x^2.

Passo 1

Vamos entender o problema: precisamos calcular o volume do conjunto de todos os pontos (x, y, z) que satisfazem as condições x >= 0, y ≥ 0, e . Isso envolve conceitos de cálculo de volumes utilizando integrais múltiplas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração para as variáveis x, y e z:
  • x varia de 0 a 1 (pois e x >= 0).
  • Para cada x, y varia de 0 a .
  • Para cada ponto (x, y), z varia de 0 a .

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular o volume V:

Passo 4

Primeiro, integramos em relação a z:
Então, a integral fica:

Passo 5

Integramos em relação a y:
Expandindo:
Agora, integramos em relação a x:
Substituindo os limites:

Resposta

O volume do conjunto de pontos é 1/12 unidades cúbicas.

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