Calcule o volume do conjunto de todos os pontos
tais que
,
e
.
Passo 1
Vamos entender o problema: precisamos calcular o volume do conjunto de todos os pontos
que satisfazem as condições
,
,
e
. Isso envolve conceitos de cálculo de volumes utilizando integrais múltiplas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de integração para as variáveis
,
e
:
-
varia de a (pois e ). - Para cada
, varia de a . - Para cada ponto
, varia de a .
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla para calcular o volume
:
Passo 4
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Integramos em relação a
:
Expandindo:
Agora, integramos em relação a
:
Substituindo os limites:
Resposta
O volume do conjunto de pontos é
unidades cúbicas.
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Usando o Teorema do Divergente, calcule
, onde:
e
é fronteira do cilindro
e
o vetor normal unitário apontado para fora de
Usando o Teorema do Divergente, calcule
, onde:
e
e
e o vetor normal unitário apontado para fora de
Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
e
.
Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
e
.