Calcule integral duplaB x y d x d y, onde B é o triângulo de vértices (-1,0),(0,1) e (1,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral dupla integral duplaB x y , dx , dy, onde B é o triângulo com vértices em (-1,0), (0,1) e (1,0). Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões delimitadas. Precisamos determinar os limites de integração que descrevem o triângulo B e então calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região B. Os vértices são (-1,0), (0,1) e (1,0). Isso forma um triângulo simétrico em relação ao eixo y. Para integrar sobre esse triângulo, precisamos encontrar as funções que delimitam a região em termos de x e y.

Passo 3

Vamos desenhar o triângulo para visualizar melhor. As linhas que conectam os vértices são:
  1. De (-1,0) a (0,1): essa linha tem uma inclinação positiva.
  2. De (0,1) a (1,0): essa linha tem uma inclinação negativa.
  3. De (-1,0) a (1,0): essa é a base do triângulo, ao longo do eixo x.

Passo 4

Vamos encontrar as equações dessas linhas para determinar os limites de integração.
  1. Linha de (-1,0) a (0,1):
    A inclinação m = 1 - 00 - (-1) = 1.
    A equação é y = x + 1.
  2. Linha de (0,1) a (1,0):
    A inclinação m = 0 - 11 - 0 = -1.
    A equação é y = -x + 1.
  3. Linha de (-1,0) a (1,0):
    Esta é a linha y = 0.

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração. Observando o triângulo:
  • Para x variando de -1 a 1.
  • Para cada valor de x, y varia de 0 até a linha superior, que depende se x é negativo ou positivo.
Mas como o triângulo é simétrico, podemos dividir a integral em duas partes: de x = -1 a x = 0 e de x = 0 a x = 1.

Passo 6

Vamos expressar a integral dupla:
integral duplaB x y , dx , dy = integral-1^0 integral0^x + 1 x y , dy , dx + integral0^1 integral0^-x + 1 x y , dy , dx

Passo 7

Vamos calcular a primeira integral:
integral-1^0 integral0^x + 1 x y , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^x + 1 x y , dy = x [ y^22 ]0^x + 1 = x ( (x + 1)^22 ) = x (x + 1)^22
Agora, integramos em relação a x:
integral-1^0 x (x + 1)^22 , dx = 12 integral-1^0 x (x^2 + 2x + 1) , dx = 12 integral-1^0 (x^3 + 2x^2 + x) , dx
Integrando termo a termo:
12 [ x^44 + 2x^33 + x^22 ]-1^0 = 12 ( 0 + 0 + 0 - ( (-1)^44 + 2(-1)^33 + (-1)^22 ) )
= 12 ( - ( 14 - 23 + 12 ) ) = 12 ( - ( 312 - 812 + 612 ) ) = 12 ( - ( 112 ) ) = -124

Passo 8

Agora, calculamos a segunda integral:
integral0^1 integral0^-x + 1 x y , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^-x + 1 x y , dy = x [ y^22 ]0^-x + 1 = x ( (-x + 1)^22 ) = x (-x + 1)^22
Agora, integramos em relação a x:
integral0^1 x (-x + 1)^22 , dx = 12 integral0^1 x (x^2 - 2x + 1) , dx = 12 integral0^1 (x^3 - 2x^2 + x) , dx
Integrando termo a termo:
12 [ x^44 - 2x^33 + x^22 ]0^1 = 12 ( 14 - 23 + 12 - 0 ) = 12 ( 312 - 812 + 612 ) = 12 ( 112 ) = 124

Resposta

Somando as duas partes:
-124 + 124 = 0
Portanto, o valor da integral dupla integral duplaB x y , dx , dy é 0.

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