Calcule , onde é o triângulo de vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral dupla , onde é o triângulo com vértices em , e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões delimitadas. Precisamos determinar os limites de integração que descrevem o triângulo e então calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Os vértices são , e . Isso forma um triângulo simétrico em relação ao eixo . Para integrar sobre esse triângulo, precisamos encontrar as funções que delimitam a região em termos de e .

Passo 3

Vamos desenhar o triângulo para visualizar melhor. As linhas que conectam os vértices são:
  1. De a : essa linha tem uma inclinação positiva.
  2. De a : essa linha tem uma inclinação negativa.
  3. De a : essa é a base do triângulo, ao longo do eixo .

Passo 4

Vamos encontrar as equações dessas linhas para determinar os limites de integração.
  1. Linha de a :
    A inclinação .
    A equação é .
  2. Linha de a :
    A inclinação .
    A equação é .
  3. Linha de a :
    Esta é a linha .

Passo 5

Agora, vamos definir os limites de integração. Observando o triângulo:
  • Para variando de a .
  • Para cada valor de , varia de até a linha superior, que depende se é negativo ou positivo.
Mas como o triângulo é simétrico, podemos dividir a integral em duas partes: de a e de a .

Passo 6

Vamos expressar a integral dupla:

Passo 7

Vamos calcular a primeira integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Integrando termo a termo:

Passo 8

Agora, calculamos a segunda integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Agora, integramos em relação a :
Integrando termo a termo:

Resposta

Somando as duas partes:
Portanto, o valor da integral dupla é 0.

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