Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral dupla
, onde
é o triângulo com vértices em
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas sobre regiões delimitadas. Precisamos determinar os limites de integração que descrevem o triângulo
e então calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Os vértices são
,
e
. Isso forma um triângulo simétrico em relação ao eixo
. Para integrar sobre esse triângulo, precisamos encontrar as funções que delimitam a região em termos de
e
.
Passo 3
Vamos desenhar o triângulo para visualizar melhor. As linhas que conectam os vértices são:
- De
a : essa linha tem uma inclinação positiva. - De
a : essa linha tem uma inclinação negativa. - De
a : essa é a base do triângulo, ao longo do eixo .
Passo 4
Vamos encontrar as equações dessas linhas para determinar os limites de integração.
-
Linha de
a :
A inclinação.
A equação é. -
Linha de
a :
A inclinação.
A equação é. -
Linha de
a :
Esta é a linha.
Passo 5
Agora, vamos definir os limites de integração. Observando o triângulo:
- Para
variando de a . - Para cada valor de
, varia de até a linha superior, que depende se é negativo ou positivo.
Mas como o triângulo é simétrico, podemos dividir a integral em duas partes: de
a
e de
a
.
Passo 6
Vamos expressar a integral dupla:
Passo 7
Vamos calcular a primeira integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Integrando termo a termo:
Passo 8
Agora, calculamos a segunda integral:
Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Integrando termo a termo:
Resposta
Somando as duas partes:
Portanto, o valor da integral dupla
é 0.
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Calcule o volume do conjunto de todos os pontos
tais que
,
e
.
Usando o Teorema do Divergente, calcule
, onde:
e
é fronteira do cilindro
e
o vetor normal unitário apontado para fora de
Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
e
.
Calcule a área da região compreendida entre os gráficos das funções
com
.