Calcule integral duplaB e^-y^2 d x d y, onde B é o triângulo de vértices (0,0),(1,1) e (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . O enunciado pede para calcular essa integral onde é um triângulo com vértices em , e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso. Precisaremos entender como definir os limites de integração para a região triangular e depois calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região 0 <= y <= 1 . O triângulo tem vértices em 0 <= x <= y , e . Isso significa que o y varia de 0 a 1. Para cada valor de , vai de 0 até a reta que conecta a , que é . Então, os limites de integração ficam:

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla com esses limites. A integral fica:
integraly=0^1 integralx=0^y e^-y^2 , dx , dy
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de 0 a , e depois em relação a de 0 a 1.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a integralx=0^y e^-y^2 , dx :
e^-y^2 cdot integralx=0^y dx = e^-y^2 cdot (y - 0) = y cdot e^-y^2
Como é constante em relação a , a integral fica:

Passo 5

Agora, substituímos isso na integral externa:
integral0^1 y cdot e^-y^2 , dy
Para resolver essa integral, usamos a substituição -12 integralu=0^-1 e^u , du = 12 integral-1^0 e^u , du , então 12 [ e^u ]-1^0 = 12 (e^0 - e^-1) = 12 (1 - 1e) , ou seja, . A integral passa a ser:
Integrando , temos:

Resposta

12 (1 - 1e)

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