Calcule , onde é o triângulo de vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é . O enunciado pede para calcular essa integral onde é um triângulo com vértices em , e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso. Precisaremos entender como definir os limites de integração para a região triangular e depois calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . O triângulo tem vértices em , e . Isso significa que o y varia de 0 a 1. Para cada valor de , vai de 0 até a reta que conecta a , que é . Então, os limites de integração ficam:

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral dupla com esses limites. A integral fica:
Aqui, estamos integrando primeiro em relação a de 0 a , e depois em relação a de 0 a 1.

Passo 4

Vamos resolver a integral interna, que é em relação a :
Como é constante em relação a , a integral fica:

Passo 5

Agora, substituímos isso na integral externa:
Para resolver essa integral, usamos a substituição , então , ou seja, . A integral passa a ser:
Integrando , temos:

Resposta

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Calcule , onde é o triângulo de vértices e .
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