Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é
. O enunciado pede para calcular essa integral onde
é um triângulo com vértices em
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas, para resolver isso. Precisaremos entender como definir os limites de integração para a região triangular
e depois calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. O triângulo tem vértices em
,
e
. Isso significa que o y varia de 0 a 1. Para cada valor de
,
vai de 0 até a reta que conecta
a
, que é
. Então, os limites de integração ficam:
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla com esses limites. A integral fica:
Aqui, estamos integrando
primeiro em relação a
de 0 a
, e depois em relação a
de 0 a 1.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, que é em relação a
:
Como
é constante em relação a
, a integral fica:
Passo 5
Agora, substituímos isso na integral externa:
Para resolver essa integral, usamos a substituição
, então
, ou seja,
. A integral passa a ser:
Integrando
, temos:
Resposta
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Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
e
.
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tais que
,
e
.
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com
.
Calcule
, onde
é o conjuntos de todos os pontos
tais que
e
.