Usando o Teorema do Divergente, calcule integral duplaS F d S, onde: F(x, y, z)=x i+y j+z^2 k e S é fronteira do cilindro x^2+y^2 <= 1,0 <= z <= 1 e eta o vetor normal unitário apontado para fora de S

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui! A gente precisa calcular a integral de fluxo onde o campo vetorial é dado por . A superfície é a fronteira de um cilindro definido por e , com o vetor normal apontando para fora. Vamos usar o Teorema da Divergente para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergente: ele relaciona a integral de fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergente do campo vetorial sobre o volume limitado por essa superfície. Matematicamente, é:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Então, nosso primeiro passo é calcular a divergente de .

Passo 3

Calculando a divergente nabla cdot F = partialpartial x(x) + partialpartial y(y) + partialpartial z(z^2) = 1 + 1 + 2z = 2 + 2z :

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral tripla de integral triplaV (2 + 2z) , dV = integral0^1 integral0^2pi integral0^1 (2 + 2z) , r , dr , dtheta , dz sobre o volume do cilindro . Vamos usar coordenadas cilíndricas porque elas simplificam bastante para cilindros.
Em coordenadas cilíndricas:
  • Elemento de volume:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos com respeito a integral0^1 (2 + 2z) , r , dr = (2 + 2z) [ r^22 ]0^1 = (2 + 2z) ( 12 ) = 1 + z :
integral0^1 integral0^2pi (1 + z) , dtheta , dz
Agora, a integral fica:

Passo 6

Integramos com respeito a integral0^2pi (1 + z) , dtheta = (1 + z) cdot 2pi :
2pi integral0^1 (1 + z) , dz
Agora, a integral é:

Passo 7

Finalmente, integramos com respeito a 2pi integral0^1 (1 + z) , dz = 2pi [ z + z^22 ]0^1 = 2pi (1 + 12) = 2pi cdot 32 = 3pi :

Resposta

O valor da integral de fluxo é .

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