Usando o Teorema do Divergente, calcule , onde: e é fronteira do cilindro e o vetor normal unitário apontado para fora de

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui! A gente precisa calcular a integral de fluxo onde o campo vetorial é dado por . A superfície é a fronteira de um cilindro definido por e , com o vetor normal apontando para fora. Vamos usar o Teorema da Divergente para resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergente: ele relaciona a integral de fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergente do campo vetorial sobre o volume limitado por essa superfície. Matematicamente, é:
Então, nosso primeiro passo é calcular a divergente de .

Passo 3

Calculando a divergente :

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral tripla de sobre o volume do cilindro . Vamos usar coordenadas cilíndricas porque elas simplificam bastante para cilindros.
Em coordenadas cilíndricas:
  • Elemento de volume:
Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos com respeito a :
Agora, a integral fica:

Passo 6

Integramos com respeito a :
Agora, a integral é:

Passo 7

Finalmente, integramos com respeito a :

Resposta

O valor da integral de fluxo é .

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