Usando o Teorema do Divergente, calcule
, onde:
e
é fronteira do cilindro
e
o vetor normal unitário apontado para fora de
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a gente tem aqui! A gente precisa calcular a integral de fluxo
onde o campo vetorial
é dado por
. A superfície
é a fronteira de um cilindro definido por
e
, com o vetor normal apontando para fora. Vamos usar o Teorema da Divergente para resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergente: ele relaciona a integral de fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergente do campo vetorial sobre o volume limitado por essa superfície. Matematicamente, é:
Então, nosso primeiro passo é calcular a divergente de
.
Passo 3
Calculando a divergente
:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral tripla de
sobre o volume do cilindro
. Vamos usar coordenadas cilíndricas porque elas simplificam bastante para cilindros.
Em coordenadas cilíndricas:
-
-
-
- Elemento de volume:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integramos com respeito a
:
Agora, a integral fica:
Passo 6
Integramos com respeito a
:
Agora, a integral é:
Passo 7
Finalmente, integramos com respeito a
:
Resposta
O valor da integral de fluxo é
.
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Usando o Teorema do Divergente, calcule
, onde:
e
e
e o vetor normal unitário apontado para fora de
Usando o Teorema do Divergente, calcule
, onde:
e
é a superfície da região delimitada pelo cilindro parabólico
e os planos
e
Calcule o volume do conjunto de todos os pontos
tais que
,
e
.
Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
e
.