Calcule o volume de uma esfera de raio
usando o método das cascas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde a gente precisa calcular o volume de uma esfera com raio
usando o método das cascas cilíndricas. Isso faz parte do cálculo integral, especificamente usando integrais para volumes de sólidos de rotação. O que vamos precisar é entender como aplicar o método das cascas cilíndricas para integrar e encontrar esse volume.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a esfera. Uma esfera de raio
é simétrica em todas as direções, então podemos imaginar que estamos girando um círculo em torno de um eixo para formar a esfera. No método das cascas cilíndricas, a ideia é dividir a esfera em várias cascas fininhas, calcular o volume de cada casca e depois somar todos esses volumes.
Passo 3
Vamos considerar a esfera centrada na origem do sistema de coordenadas, com o eixo de rotação sendo, por exemplo, o eixo
. A equação da esfera é
. Para usar as cascas cilíndricas, preferimos integrar ao longo do eixo
, considerando uma fatia vertical da esfera.
Passo 4
Uma casca cilíndrica em
tem uma pequena espessura
, uma altura
e um raio
em relação ao eixo
. A altura
vem da simetria da esfera, onde para cada
, temos dois pontos no eixo
.
Passo 5
Precisamos expressar
em termos de
usando a equação da esfera. A partir de
, isolamos
:
Então, a altura da casca é
.
Passo 6
O volume de uma casca cilíndrica é dado por:
Substituindo os valores que temos:
Passo 7
Para encontrar o volume total da esfera, integramos
de
até
. Mas, devido à simetria, podemos integrar de
a
e multiplicar por 2:
Passo 8
Para resolver a integral, fazemos uma substituição. Deixemos
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Passo 9
Integrando
:
Aplicando os limites:
Resposta
O volume da esfera de raio
é
.
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
Se for conservativo, calcule
tal que
.
Considere o campo vetorial
Determine se o campo
é conservativo.
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
em torno do eixo
Calculando as integrais
e
, Obtemos
. Usando estes resultados, encontrar o valor de:
b)
b)