Considere o campo vetorial
Se for conservativo, calcule
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um campo vetorial dado por
A missão aqui é descobrir se esse campo é conservativo. Se for, a gente precisa encontrar uma função
tal que
Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo vetorial, tipo o rotacional. Se o rotacional de
for zero, então o campo é conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Substituindo os componentes de
:
Agora, calculando cada componente do rotacional:
Então, o rotacional de é zero:
Agora, calculando cada componente do rotacional:
Então, o rotacional de
Passo 3
Como o rotacional de
é zero, isso significa que o campo vetorial é conservativo. Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que
Isso significa que:
Passo 4
Vamos integrar a primeira equação em relação a
para encontrar
:
onde
é uma função que depende de
e
.
Passo 5
Agora, vamos usar a segunda equação:
Substituindo nossa expressão para
:
Integrando isso em relação a
:
onde
é uma função que depende só de
.
Passo 6
Agora, vamos usar a terceira equação:
Substituindo nossas expressões para
e
:
Isso implica que
, então
é uma constante. Vamos chamar de
.
Resposta
A função potencial é
onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Considere o campo vetorial
Determine se o campo
é conservativo.
Seja
, Seja
e seja
campo vetorial definido em
pela equação
onde
é uma constante real. Encontre um potencial para
em
. O caso
deve ser tratado separadamente.
Calcule o volume de uma esfera de raio
usando o método das cascas cilíndricas.
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
em torno do eixo