Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
em torno do eixo
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas curvas:
e
. Queremos encontrar o volume da região delimitada por essas curvas quando ela é girada em torno do eixo
. Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil para calcular volumes de sólidos de rotação, especialmente quando a rotação não é em torno de um dos eixos principais.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os limites de integração, ou seja, os valores de
onde as duas curvas se interceptam. Vamos resolver a equação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada:
Portanto, nossos limites de integração são de
até
.
Passo 3
No método das cascas cilíndricas, a fórmula geral para o volume é:
Aqui:
-
é a distância do elemento de casca ao eixo de rotação. -
é a altura da casca, que, neste caso, é a diferença entre as duas curvas em termos de .
Passo 4
Vamos determinar
e
:
-
Distância ao eixo de rotação (
): Como estamos girando ao redor do eixo, a distância de um ponto até esse eixo é: -
Altura da casca (
): A altura é a diferença entre as duas curvas:
Passo 5
Substituindo
e
na fórmula do volume:
Passo 6
Vamos simplificar o integrando multiplicando os termos:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Podemos separar em várias integrais:
Calculando cada termo:
-
(porque a função é ímpar e o intervalo é simétrico) -
(mesma razão) -
-
Somando todos os termos:
Passo 8
Multiplicando pelo
:
Resposta
O volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
é
.
Exercícios relacionados
Calcule o volume de uma esfera de raio
usando o método das cascas cilíndricas.
Considere o campo vetorial
Se for conservativo, calcule
tal que
.
Calculando as integrais
e
, Obtemos
. Usando estes resultados, encontrar o valor de:
b)
b)
Calculando as integrais
e
, Obtemos
. Usando estes resultados, encontrar o valor de:
a)
a)