Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
x = y^2 + 1, x = 2 em torno do eixo y = -2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas curvas: e . Queremos encontrar o volume da região delimitada por essas curvas quando ela é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método é útil para calcular volumes de sólidos de rotação, especialmente quando a rotação não é em torno de um dos eixos principais.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os limites de integração, ou seja, os valores de onde as duas curvas se interceptam. Vamos resolver a equação:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Tirando a raiz quadrada:
Portanto, nossos limites de integração são de até .

Passo 3

No método das cascas cilíndricas, a fórmula geral para o volume é:
Aqui:
  • é a distância do elemento de casca ao eixo de rotação.
  • é a altura da casca, que, neste caso, é a diferença entre as duas curvas em termos de .

Passo 4

Vamos determinar e :
  1. Distância ao eixo de rotação ( ):
    Como estamos girando ao redor do eixo , a distância de um ponto até esse eixo é:
  2. Altura da casca ( ):
    A altura é a diferença entre as duas curvas:

Passo 5

Substituindo e na fórmula do volume:

Passo 6

Vamos simplificar o integrando multiplicando os termos:
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
Podemos separar em várias integrais:
Calculando cada termo:
  1. (porque a função é ímpar e o intervalo é simétrico)
  2. (mesma razão)
Somando todos os termos:

Passo 8

Multiplicando pelo :

Resposta

O volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas e em torno do eixo é .

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Calculando as integrais I=integral1^2 x^2 d x, I2=integral1^2 x d x e I3=integral1^3 d x, Obtemos I1= 73, I2=32, I3=1. Usando estes resultados, encontrar o valor de:
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Calculando as integrais I=integral1^2 x^2 d x, I2=integral1^2 x d x e I3=integral1^3 d x, Obtemos I1= 73, I2=32, I3=1. Usando estes resultados, encontrar o valor de:
a) integral1^2(6 x-1) d x