Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores a=(1,2,3), b=(4,5,6) e c=(7,8,9) usando o produto misto.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um paralelepípedo formado pelos vetores , e . O conteúdo que vamos usar aqui é o produto misto dos vetores, que nos ajuda a encontrar o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o produto misto. Basicamente, o volume do paralelepípedo pode ser encontrado calculando o determinante da matriz formada pelos três vetores. A fórmula do produto misto é:
V = |a cdot (b times c)|
Isso significa que a gente vai calcular o produto escalar de com o produto vetorial de e , e depois pegar o valor absoluto desse resultado.

Passo 3

Vamos montar a matriz com os vetores 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 , e como linhas:
O próximo passo é calcular o determinante dessa matriz.

Passo 4

Calculando o determinante:
1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 = 1 times (5 times 9 - 6 times 8) - 2 times (4 times 9 - 6 times 7) + 3 times (4 times 8 - 5 times 7)
Vamos calcular cada parte:
1 times (45 - 48) = 1 times (-3) = -3
-2 times (36 - 42) = -2 times (-6) = 12
3 times (32 - 35) = 3 times (-3) = -9
Somando tudo:
-3 + 12 - 9 = 0

Resposta

O volume do paralelepípedo é .

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