Especifique os focos e os vértices, e calcule a distância focal, as medidas dos eixos transverso e conjugado, e as equações das assíntotas das hipérboles abaixo. 25 x^2-100 y^2=10

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole juntos! A gente precisa identificar os focos e vértices, calcular a distância focal, as medidas dos eixos transverso e conjugado, e encontrar as equações das assíntotas da hipérbole dada pela equação . Para isso, vamos usar os conceitos de equações padrão de hipérboles, identificar os parâmetros principais e aplicar as fórmulas necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral de uma hipérbole com eixo transversal no eixo x é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
No nosso caso, a equação é 25x^210 - 100y^210 = 1 implies 5x^22 - 10y^2 = 1 . Vamos dividir todos os termos por 10 para igualar a 1 no lado direito:
x^225 - y^2110 = 1
Mas preferimos ter coeficientes e com denominadores perfeitos, então reescrevemos como:
Assim, identificamos e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de a = raiz25 = raiz105 e b = raiz110 = 1raiz10 = raiz1010 :

Passo 4

A distância focal c^2 = 25 + 110 = 410 + 110 = 510 = 12 é calculada pela fórmula c = raiz12 = raiz22 :

Passo 5

Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância (pm a, 0) = ( pm raiz105, 0 ) do centro. Como não há termos de ou , o centro está na origem .
Portanto, os vértices são:

Passo 6

Os focos estão localizados a uma distância (pm c, 0) = ( pm raiz22, 0 ) do centro:

Passo 7

As medidas dos eixos:
  • Eixo Transverso:
  • Eixo Conjugado:

Passo 8

As equações das assíntotas de uma hipérbole na forma y = pm bax são dadas por:
y = pm raiz1010raiz105x = pm 12x
Substituindo os valores de e :

Resposta

  • Vértices:
  • Focos:
  • Distância Focal:
  • Eixo Transverso:
  • Eixo Conjugado:
  • Equações das Assíntotas: e

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