Especifique os focos e os vértices, e calcule a distância focal, as medidas dos eixos transverso e conjugado, e as equações das assíntotas das hipérboles abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de hipérbole juntos! A gente precisa identificar os focos e vértices, calcular a distância focal, as medidas dos eixos transverso e conjugado, e encontrar as equações das assíntotas da hipérbole dada pela equação . Para isso, vamos usar os conceitos de equações padrão de hipérboles, identificar os parâmetros principais e aplicar as fórmulas necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação da hipérbole na forma padrão. A forma geral de uma hipérbole com eixo transversal no eixo x é:
No nosso caso, a equação é . Vamos dividir todos os termos por 10 para igualar a 1 no lado direito:
Mas preferimos ter coeficientes e com denominadores perfeitos, então reescrevemos como:
Assim, identificamos e .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de e :
Passo 4
A distância focal é calculada pela fórmula :
Passo 5
Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância do centro. Como não há termos de ou , o centro está na origem .
Portanto, os vértices são:
Passo 6
Os focos estão localizados a uma distância do centro:
Passo 7
As medidas dos eixos:
Eixo Transverso:
Eixo Conjugado:
Passo 8
As equações das assíntotas de uma hipérbole na forma são dadas por: