A nalise cada subconjunto dado abaixo e diga se são ou não um subespaço vetorial do R^2 e de M2 times 2 com as operações usuais. Justifique sus resposta.
V=(x, y) in R^2 / x^2+y^2 >= 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se um determinado conjunto é ou não um subespaço vetorial de R^2 e de M2 times 2, que são os espaços vetoriais das matrizes 2 times 2. O conjunto que a gente vai analisar é:
V = (x, y) in R^2 mid x^2 + y^2 >= 1
Para resolver isso, precisamos lembrar quais são os requisitos para um subconjunto ser subespaço vetorial. A gente vai precisar verificar três coisas:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0,0) está no conjunto?
  2. Fechado sob adição: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também está?
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo desse vetor também está?
Vamos verificar cada um desses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em V. O vetor zero em R^2 é (0,0). Vamos substituir na condição do conjunto:
x^2 + y^2 >= 1 0^2 + 0^2 = 0 >= 1 ?
Claramente, 0 n>= 1. Portanto, o vetor zero não está em V.

Passo 3

Como o vetor zero não está em V, já podemos concluir que V não é um subespaço vetorial de R^2. Mas vamos continuar para entender melhor.

Passo 4

Mesmo que a gente já tenha a resposta, vamos verificar a outra condição: se V é fechado sob adição.
Vamos pegar dois vetores quaisquer em V, por exemplo, (1,0) e (0,1). Ambos satisfazem x^2 + y^2 >= 1 porque:
1^2 + 0^2 = 1 >= 1 0^2 + 1^2 = 1 >= 1
Agora, somando esses vetores:
(1,0) + (0,1) = (1,1)
Vamos verificar se (1,1) está em V:
1^2 + 1^2 = 2 >= 1 Sim, está! á
Até aqui, nesse caso específico, a soma ficou dentro do conjunto. Mas isso não garante que seja sempre assim.

Passo 5

Vamos testar outro exemplo para ter certeza. Pegue os vetores (1,0) e (1,0) novamente. Ambos estão em V porque 1^2 + 0^2 = 1 >= 1.
Somando:
(1,0) + (1,0) = (2,0)
Verificando:
2^2 + 0^2 = 4 >= 1 Está em V á
Parece que está funcionando, mas isso ainda não prova que sempre funciona para qualquer par de vetores em V.

Passo 6

Agora, vamos verificar a condição de fechamento sob multiplicação por escalar. Pegue um vetor em V, por exemplo, (1,0). Se multiplicarmos por um escalar, digamos 0.5, teremos:
0.5 cdot (1,0) = (0.5, 0)
Vamos ver se (0.5, 0) está em V:
0.5^2 + 0^2 = 0.25 >= 1 ? Não, não está! ããá
Então, multiplicar um vetor de V por um escalar pode resultar em um vetor que não está em V.

Passo 7

Resumindo tudo isso:
  • O vetor zero não está em V.
  • Apesar de alguns vetores somados permanecerem em V, nem sempre isso acontece para todos os vetores.
  • Multiplicar vetores de V por escalares pode levar a vetores que não estão em $V.
Portanto, V** Portanto, ** não é um subespaço vetorial de não é um subespaço vetorial de .

Resposta

V não é um subespaço vetorial de R^2 nem de M2 times 2 com as operações usuais.

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