A nalise cada subconjunto dado abaixo e diga se são ou não um subespaço vetorial do e de com as operações usuais. Justifique sus resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se um determinado conjunto é ou não um subespaço vetorial de e de , que são os espaços vetoriais das matrizes . O conjunto que a gente vai analisar é:
Para resolver isso, precisamos lembrar quais são os requisitos para um subconjunto ser subespaço vetorial. A gente vai precisar verificar três coisas:
Contém o vetor zero: O vetor está no conjunto?
Fechado sob adição: Se dois vetores estão no conjunto, a soma deles também está?
Fechado sob multiplicação por escalar: Se um vetor está no conjunto, qualquer múltiplo desse vetor também está?
Vamos verificar cada um desses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em . O vetor zero em é . Vamos substituir na condição do conjunto:
Claramente, . Portanto, o vetor zero não está em .
Passo 3
Como o vetor zero não está em , já podemos concluir que não é um subespaço vetorial de . Mas vamos continuar para entender melhor.
Passo 4
Mesmo que a gente já tenha a resposta, vamos verificar a outra condição: se é fechado sob adição.
Vamos pegar dois vetores quaisquer em , por exemplo, e . Ambos satisfazem porque:
Agora, somando esses vetores:
Vamos verificar se está em :
Até aqui, nesse caso específico, a soma ficou dentro do conjunto. Mas isso não garante que seja sempre assim.
Passo 5
Vamos testar outro exemplo para ter certeza. Pegue os vetores e novamente. Ambos estão em porque .
Somando:
Verificando:
Parece que está funcionando, mas isso ainda não prova que sempre funciona para qualquer par de vetores em .
Passo 6
Agora, vamos verificar a condição de fechamento sob multiplicação por escalar. Pegue um vetor em , por exemplo, . Se multiplicarmos por um escalar, digamos , teremos:
Vamos ver se está em :
Então, multiplicar um vetor de por um escalar pode resultar em um vetor que não está em .
Passo 7
Resumindo tudo isso:
O vetor zero não está em .
Apesar de alguns vetores somados permanecerem em , nem sempre isso acontece para todos os vetores.
Multiplicar vetores de por escalares pode levar a vetores que não estão em $V.
Portanto, não é um subespaço vetorial de .
Resposta
não é um subespaço vetorial de nem de com as operações usuais.