Escreva uma equação reduzida da hipérbole que tem centro na origem, focos em um dos eixos coordenados e contém os pontos A=(2, raiz2) e B=(4,-raiz5).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente escrever a equação reduzida de uma hipérbole que tem o centro na origem, focos em um dos eixos coordenados e que passa pelos pontos e . Basicamente, vamos mexer com geometria analítica, especificamente com as equações das hipérboles. Pra resolver, vamos precisar lembrar das formas das equações das hipérboles e usar os pontos dados pra encontrar os parâmetros certos.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber qual é a orientação da hipérbole: se ela está aberta horizontalmente ou verticalmente. As hipérboles centradas na origem têm duas formas principais:
  • Horizontal:
  • Vertical:
Onde é a distância do centro aos vértices e ajuda a determinar a abertura.

Passo 3

Como os focos estão em um dos eixos coordenados, a hipérbole pode ser horizontal ou vertical. Vamos testar as duas possibilidades usando os pontos dados.
Primeiro, suponha que a hipérbole seja horizontal:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Vamos substituir os pontos 2^2a^2 - (raiz2)^2b^2 = 1 Rightarrow 4a^2 - 2b^2 = 1 e 4^2a^2 - (raiz5)^2b^2 = 1 Rightarrow 16a^2 - 5b^2 = 1 nessa equação:
Para o ponto :
Para o ponto :

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações:
  1. (16A - 5B) - (8A - 4B) = 1 - 2 Rightarrow 8A - B = -1
  2. B = 8A + 1
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, chamamos 4A - 2(8A + 1) = 1 Rightarrow 4A - 16A - 2 = 1 Rightarrow -12A = 3 Rightarrow A = -14 e y^2a^2 - x^2b^2 = 1 . Assim, as equações ficam:
  1. (raiz2)^2a^2 - 2^2b^2 = 1 Rightarrow 2a^2 - 4b^2 = 1
  2. (raiz5)^2a^2 - 4^2b^2 = 1 Rightarrow 5a^2 - 16b^2 = 1
Multiplicamos a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a primeira da segunda:
Daqui, isolamos :
Substituindo na primeira equação original:
Mas , então . Isso não faz sentido, já que é positivo. Portanto, nossa hipótese de que a hipérbole é horizontal está errada.
Vamos tentar agora com a hipérbole vertical:
Substituindo os pontos e :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, resolvemos o novo sistema:
  1. (5A - 16B) - (4A - 8B) = 1 - 2 Rightarrow A - 8B = -1
  2. A = 8B - 1
Usando 2(8B - 1) - 4B = 1 Rightarrow 16B - 2 - 4B = 1 Rightarrow 12B = 3 Rightarrow B = 14 e A = 8 cdot 14 - 1 = 2 - 1 = 1 :
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraindo a primeira da segunda:
Isolando :
Substituindo na primeira equação original:
Agora, encontramos :
Então, e .

Resposta

A equação reduzida da hipérbole é:
y^21 - x^24 = 1
Ou simplificando:
y^2 - x^24 = 1

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