Escreva uma equação reduzida da hipérbole que tem centro na origem, focos em um dos eixos coordenados e contém os pontos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente escrever a equação reduzida de uma hipérbole que tem o centro na origem, focos em um dos eixos coordenados e que passa pelos pontos
e
. Basicamente, vamos mexer com geometria analítica, especificamente com as equações das hipérboles. Pra resolver, vamos precisar lembrar das formas das equações das hipérboles e usar os pontos dados pra encontrar os parâmetros certos.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber qual é a orientação da hipérbole: se ela está aberta horizontalmente ou verticalmente. As hipérboles centradas na origem têm duas formas principais:
- Horizontal:
- Vertical:
Onde
é a distância do centro aos vértices e
ajuda a determinar a abertura.
Passo 3
Como os focos estão em um dos eixos coordenados, a hipérbole pode ser horizontal ou vertical. Vamos testar as duas possibilidades usando os pontos dados.
Primeiro, suponha que a hipérbole seja horizontal:
Vamos substituir os pontos
e
nessa equação:
Para o ponto
:
Para o ponto
:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações:
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, chamamos
e
. Assim, as equações ficam:
Multiplicamos a primeira equação por 2 para facilitar a eliminação:
Subtraindo a primeira da segunda:
Daqui, isolamos
:
Substituindo
na primeira equação original:
Mas
, então
. Isso não faz sentido, já que
é positivo. Portanto, nossa hipótese de que a hipérbole é horizontal está errada.
Vamos tentar agora com a hipérbole vertical:
Substituindo os pontos
e
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, resolvemos o novo sistema:
Usando
e
:
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraindo a primeira da segunda:
Isolando
:
Substituindo
na primeira equação original:
Agora, encontramos
:
Então,
e
.
Resposta
A equação reduzida da hipérbole é:
Ou simplificando:
Exercícios relacionados
Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores
e
usando o produto misto.
Obtenha, em cada caso, uma equação reduzida da hipérbole e faça um esboço. Os focos são
e
, e amplitude focal é
A nalise cada subconjunto dado abaixo e diga se são ou não um subespaço vetorial do
e de
com as operações usuais. Justifique sus resposta.
Classifique, de acordo com o valor de
, os sistemas abaixo em b)
.