Calcule a integral
onde
é a região limitada pelas retas
,
e pela cúbica
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral dupla
, onde
é a região limitada pelas retas
,
,
e a cúbica
. A matéria envolvida aqui é Cálculo Integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como definir os limites de integração para essa região e como integrar funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Temos as retas horizontais
e
, a reta vertical
(que é o eixo y) e a curva
. Vamos esboçar rapidamente:
- Para
, . - Para
, . - A curva
passa por , e .
Então, nossa região
está entre
e
, e entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral dupla. Vamos integrar em ordem
, ou seja, primeiro em relação a
e depois em relação a
. Para isso, precisamos definir os limites de
para cada
:
- Para cada
entre e , varia de a .
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna, ou seja, integrar
em relação a
. Como
não depende de
, a integral fica simples:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 6
Observe que a função
é uma função ímpar, ou seja,
. Quando integramos uma função ímpar em um intervalo simétrico em relação a zero (de
a
), o resultado é zero.
Passo 7
Portanto, a integral fica:
Resposta
A integral dupla
vale 0.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de linha com respeito ao comprimento de arco:
, onde
tem equação vetorial
Um fio tem um formato de um círculo
. Determine sua massa se a densidade no ponto
é
.
Inverta a ordem de intragração na integral
, onde
é suposta contínua em
.
Calcule o volume da região limitada pelo plano
e pelo gráfico de
que está acima do triângulo com vértices
e
.