Inverta a ordem de intragração na integral
, onde
é suposta contínua em
.
Passo 1
Então, a gente tem uma integral dupla aqui:
. O que a gente vai fazer é inverter a ordem dessa integração. Para isso, vamos precisar entender como os limites de integração mudam quando a gente troca a ordem, e usar um pouco de geometria para visualizar a região de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites atuais. A variável
varia de
a
. Para cada valor de
, a variável
varia de
até
. Isso significa que a região de integração está abaixo da curva
no intervalo de
de
a
.
Passo 3
Agora, para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em função de
. Primeiro, vamos determinar os limites de
. Sabemos que
atinge seu valor máximo em
, então
varia de
a
.
Passo 4
Para cada valor fixo de
, vamos encontrar os valores correspondentes de
. A equação
tem duas soluções no intervalo de
a
:
e
. Portanto, para cada
,
varia de
até
.
Passo 5
Com os novos limites, podemos reescrever a integral invertida. Agora,
varia de
a
, e para cada
,
varia de
a
. A função
permanece a mesma.
Resposta
A ordem de integração invertida fica:
Exercícios relacionados
Calcule a integral
onde
é a região limitada pelas retas
,
e pela cúbica
.
Calcule a integral de linha com respeito ao comprimento de arco:
, onde
tem equação vetorial
Calcule o volume da região limitada pelo plano
e pelo gráfico de
que está acima do triângulo com vértices
e
.
A lei de resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de temperatura
de um corpo em resfriamento é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura constante
do meio ambiente, isto é:
onde
é uma constante de proporcionalidade.
(b) Um ovo, a , é colocado em uma pia contendo água a
. Depois de 5 minutos, a temperatura do ovo é de
. Supondo que durante o experimento a temperatura da água não aumente apreciavelmente, quanto tempo a mais será necessário para que o ovo atinja
?
(b) Um ovo, a