Calcule o volume do sólido dado. Limitado pela esfera rho = 4, pelos planos coordenados e pelos cones phi = pi / 6 e phi = pi / 3, no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido limitado por uma esfera de raio 4, pelos planos coordenados e pelos cones e , no primeiro octante. Isso está relacionado ao cálculo de volumes usando coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração nessa coordenada e usar a fórmula do volume em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem.
  • é o ângulo no plano a partir do eixo .
  • é o ângulo entre o vetor posição e o eixo .
O diferencial de volume em coordenadas esféricas é dado por:

Passo 3

Vamos identificar os limites de integração:
  • varia de 0 até 4, já que a esfera tem raio 4.
  • varia de 0 a , pois estamos no primeiro octante.
  • varia de a pelos cones dados.

Passo 4

Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :

Passo 6

Em seguida, integramos em relação a :

Passo 7

Finalmente, integramos em relação a :

Passo 8

Multiplicando todos os resultados das integrais:

Resposta

O volume do sólido é unidades de volume.

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