Calcule o volume do sólido dado. Limitado pela esfera
, pelos planos coordenados e pelos cones
e
, no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido limitado por uma esfera de raio 4, pelos planos coordenados e pelos cones
e
, no primeiro octante. Isso está relacionado ao cálculo de volumes usando coordenadas esféricas. Para resolver, vamos precisar entender como configurar os limites de integração nessa coordenada e usar a fórmula do volume em coordenadas esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas esféricas. Nesse sistema, qualquer ponto no espaço é descrito por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo no plano a partir do eixo . -
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo .
O diferencial de volume em coordenadas esféricas é dado por:
Passo 3
Vamos identificar os limites de integração:
-
varia de 0 até 4, já que a esfera tem raio 4. -
varia de 0 a , pois estamos no primeiro octante. -
varia de a pelos cones dados.
Passo 4
Agora, montamos a integral tripla para calcular o volume:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Em seguida, integramos em relação a
:
Passo 7
Finalmente, integramos em relação a
:
Passo 8
Multiplicando todos os resultados das integrais:
Resposta
O volume do sólido é
unidades de volume.
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Derive.
Engenharia de Produção - 2024s2
Calcule o volume do sólido dado. Limitado superiormente pela esfera e inferiormente pelo paraboloide
.
Calcule o volume do sólido dado. Limitado superiormente pela esfera
(12) Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução. Não tente encontrar a solução.