Engenharia de Produção - 2024s2
Calcule o volume do sólido dado. Limitado superiormente pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 8 e inferiormente pelo paraboloide x^2 + y^2 = 2 z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Engenharia de Produção! A gente precisa calcular o volume do sólido que está limitado de cima por uma esfera dada pela equação e de baixo por um paraboloide dado por . Para isso, vamos usar cálculo integral e coordenadas cilíndricas, que facilitam muito na hora de lidar com simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a esfera e o paraboloide se encontram. Para isso, precisamos encontrar os pontos onde as duas superfícies se interceptam. Substituindo na equação da esfera, temos:
Resolvendo essa equação quadrática:
Assim, (já que representa uma altura positiva no paraboloide).

Passo 3

Agora que sabemos que o ponto de interseção ocorre em , vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde , e . Nas coordenadas cilíndricas, as equações ficam:
  • Esfera:
  • Paraboloide: ou
Aqui, é o raio, o ângulo, e a altura.

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. O varia do paraboloide até a esfera. Então, para cada , vai de até .
O raio varia de 0 até o raio no ponto de interseção, que encontramos quando . Substituindo na equação do paraboloide:
E varia de 0 a para cobrir toda a circularidade.

Passo 5

Vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume :
Aqui, é o fator que vem do Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos separar a integral em duas partes:
Primeiro, resolvemos . Fazendo a substituição , , temos:
Calculando a segunda integral:

Passo 8

Agora, substituímos os valores encontrados:

Resposta

O volume do sólido é aproximadamente unidades cúbicas.

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