Engenharia de Produção - 2024s2
Calcule o volume do sólido dado. Limitado superiormente pela esfera
e inferiormente pelo paraboloide
.
Calcule o volume do sólido dado. Limitado superiormente pela esfera
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Engenharia de Produção! A gente precisa calcular o volume do sólido que está limitado de cima por uma esfera dada pela equação
e de baixo por um paraboloide dado por
. Para isso, vamos usar cálculo integral e coordenadas cilíndricas, que facilitam muito na hora de lidar com simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a esfera e o paraboloide se encontram. Para isso, precisamos encontrar os pontos onde as duas superfícies se interceptam. Substituindo
na equação da esfera, temos:
Resolvendo essa equação quadrática:
Assim,
(já que
representa uma altura positiva no paraboloide).
Passo 3
Agora que sabemos que o ponto de interseção ocorre em
, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde
,
e
. Nas coordenadas cilíndricas, as equações ficam:
- Esfera:
- Paraboloide:
ou
Aqui,
é o raio,
o ângulo, e
a altura.
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. O
varia do paraboloide até a esfera. Então, para cada
,
vai de
até
.
O raio
varia de 0 até o raio no ponto de interseção, que encontramos quando
. Substituindo
na equação do paraboloide:
E
varia de 0 a
para cobrir toda a circularidade.
Passo 5
Vamos montar a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume
:
Aqui,
é o fator que vem do Jacobiano da transformação para coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral fica:
Passo 7
Vamos separar a integral em duas partes:
Primeiro, resolvemos
. Fazendo a substituição
,
, temos:
Calculando a segunda integral:
Passo 8
Agora, substituímos os valores encontrados:
Resposta
O volume do sólido é aproximadamente
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcule o volume do sólido dado. Limitado pela esfera
, pelos planos coordenados e pelos cones
e
, no primeiro octante.
Qual é o maior valor negativo de
atingido pelo corpo?
(12) Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução. Não tente encontrar a solução.
Ache o máximo e o mínimo absolutos da função na região
. (Esboce
.)
d) .
d)