(12) Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução. Não tente encontrar a solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar o maior intervalo no qual um problema de valor inicial tem uma única solução. Isso está ligado à matemática das equações diferenciais, mais especificamente aos problemas de valor inicial. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre as condições que garantem a unicidade da solução, como o Teorema de Picard-Lindelöf.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um problema de valor inicial. Basicamente, é uma equação diferencial acompanhada de uma condição inicial, que nos dá o valor da solução em um ponto específico. A forma geral é:
Onde
é uma função que descreve a taxa de variação de
em relação a
, e
é o ponto inicial.
Passo 3
Agora, para garantir que essa equação tenha uma única solução no maior intervalo possível, usamos o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf. Esse teorema nos diz que se
é contínua em uma região ao redor do ponto inicial
e satisfaz a condição de Lipschitz em
, então existe uma única solução no intervalo onde essas condições são válidas.
Passo 4
Então, nosso objetivo é identificar onde a função
é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em
. Isso significa que precisamos olhar para possíveis pontos onde
pode não ser contínua ou onde sua derivada em relação a
não existe ou não é contínua, pois esses pontos podem delimitar o intervalo de unicidade.
Passo 5
Supondo que você tenha a função
específica do seu problema, você deveria:
- Identificar os valores de
onde é descontínua ou não está definida. - Verificar onde a derivada
existe e é contínua. - O maior intervalo de unicidade será aquele que não inclui os pontos onde
ou não satisfazem as condições acima.
Resposta
Portanto, o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução é o intervalo onde a função
é contínua e satisfaz a condição de Lipschitz em
. Para determinar exatamente esse intervalo, é necessário analisar os pontos de descontinuidade ou onde a condição de Lipschitz não é atendida na função específica do seu problema.
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Calcule o volume do sólido dado. Limitado superiormente pela esfera e inferiormente pelo paraboloide
.
Calcule o volume do sólido dado. Limitado superiormente pela esfera
Calcule o volume do sólido dado. Limitado pela esfera
, pelos planos coordenados e pelos cones
e
, no primeiro octante.
Ache o máximo e o mínimo absolutos da função na região
. (Esboce
.)
d) .
d)
Encontre o máximo e o mínimo de
no compacto
.
a) e
.
a)