Calcule o volume do sólido determinado por todos os pontos
tais que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido definido por todos os pontos
que satisfazem a condição:
Aqui, estamos lidando com cálculo de volume usando coordenação cilíndrica. Vamos precisar entender como integrar em coordenadas polares para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as superfícies que delimitam o sólido. Temos duas funções para
:
-
– que representa um paraboloide parabólico para cima. -
– que representa um paraboloide parabólico para baixo.
Queremos encontrar o volume entre esses dois paraboloides.
Passo 3
Para calcular o volume entre essas superfícies, podemos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Nessas coordenadas,
, o que simplifica as equações dos paraboloides:
Passo 4
Antes de integrar, precisamos encontrar a região de interseção dos dois paraboloides. Igualando as duas expressões para
:
Então, a área de integração é um círculo de raio 1 no plano
.
Passo 5
Agora, vamos configurar a integral dupla para o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume
é dado por:
Aqui,
representa a diferença entre as duas funções
, e
é o elemento de área em coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Integrando termo a termo:
Avaliar de 0 a 1:
Passo 8
Agora, integramos o resultado com respeito a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
b-)
b-)
Encontre o raio
e o intervalo
de convergência da série.
;
Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O sólido com densidade
, envolvido por
(para
),
e
.
Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O sólido com densidade
, envolvido por
(para
),
e
.