Calcule o volume do sólido determinado por todos os pontos tais que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o volume de um sólido definido por todos os pontos que satisfazem a condição:
Aqui, estamos lidando com cálculo de volume usando coordenação cilíndrica. Vamos precisar entender como integrar em coordenadas polares para facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as superfícies que delimitam o sólido. Temos duas funções para :
  1. – que representa um paraboloide parabólico para cima.
  2. – que representa um paraboloide parabólico para baixo.
Queremos encontrar o volume entre esses dois paraboloides.

Passo 3

Para calcular o volume entre essas superfícies, podemos usar coordenadas cilíndricas, onde:
Nessas coordenadas, , o que simplifica as equações dos paraboloides:

Passo 4

Antes de integrar, precisamos encontrar a região de interseção dos dois paraboloides. Igualando as duas expressões para :
Então, a área de integração é um círculo de raio 1 no plano .

Passo 5

Agora, vamos configurar a integral dupla para o volume. Em coordenadas cilíndricas, o volume é dado por:
Aqui, representa a diferença entre as duas funções , e é o elemento de área em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a :
Integrando termo a termo:
Avaliar de 0 a 1:

Passo 8

Agora, integramos o resultado com respeito a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
b-)
Encontre o raio e o intervalo de convergência da série.
;
Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O sólido com densidade , envolvido por (para ), e .
Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O sólido com densidade , envolvido por (para ), e .