Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
b-)
b-)
Passo 1
Ok, vamos resolver a equação diferencial
. Estamos trabalhando com equações diferenciais de variáveis separáveis, que são aquelas onde a gente consegue separar as variáveis
e
para facilitar a resolução. Para isso, vamos reorganizar a equação de modo que todas as expressões com
fiquem de um lado e as com
fiquem do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação:
Podemos mover o termo
para o outro lado:
Passo 3
Agora, vamos dividir ambos os lados por
para separar as variáveis:
Essa separação facilita a integração de cada lado com sua respectiva variável.
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados:
As integrais de
e
são logaritmos naturais.
Passo 5
Calculando as integrais:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para simplificar, podemos isolar
. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde
é uma constante qualquer.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante real.
Exercícios relacionados
Encontre o raio
e o intervalo
de convergência da série.
;
Encontre o centro de gravidade da lâmina quadrada com vétrices
e
se a densidade for proporcional
(a) ao quadrado da distância à origem;
(b) à distância ao eixo .
(a) ao quadrado da distância à origem;
(b) à distância ao eixo
Calcule o volume do sólido determinado por todos os pontos
tais que
Encontre a massa e o centro de gravidade do sólido. O sólido com densidade
, envolvido por
(para
),
e
.